Considere a matriz
. Encontre:
(a) Os autovalores de
.
(b) Os autovetores de
.
(a) Os autovalores de
(b) Os autovetores de
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede:
(a) os autovalores de ,
(b) os autovetores de .
(a) os autovalores de
(b) os autovetores de
Informações relevantes que já temos do enunciado:
é uma constante (a constante de Planck reduzida), a matriz é
com entradas complexas, e os autovetores/valores pedem solução da equação característica
e, em seguida, resolução de
.]
Passo 2
Vamos simplificar a notação retirando o fator
. Defina a matriz
de modo que
A estratégia: primeiro encontrar os autovalores de
, digamos
, resolvendo
; depois os autovalores de
serão
.]
Passo 3
Calcule o polinômio característico de
. Temos
Computando o determinante:
Note que
. Portanto
Igualando a zero:
Passo 4
Como
, os autovalores de
são
Isso responde a parte (a). Agora vamos achar os autovetores correspondentes.
Passo 5
Autovetor para
.
Nesse caso , então resolvemos
, com
Nesse caso
Se
, as equações são
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
que é satisfeita (consistência). Podemos escolher livremente
; tome
. Então um autovetor (não normalizado) é
É comum escolher uma fase que deixe os componentes mais simples: multiplicando por
obtemos o vetor equivalente
Vamos normalizar. A norma (padrão hermitiana) de
é
Portanto o autovetor normalizado correspondente a
é
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): aplicar
ao vetor
.
Primeiro calcule
:
Logo
age como multiplicação por
nesse vetor, e
confirmando que é autovetor com autovalor
.]
Passo 7
Autovetor para
.
Agora , resolvemos
, com
Agora
Para
obtemos
Escolhendo
dá o autovetor (não normalizado)
Multiplicando por
(apenas mudando a fase) obtemos a forma mais simples
que tem norma
. Assim o autovetor normalizado correspondente a
é
Passo 8
Verificação de ortogonalidade e consistência: calcule o produto interno (hermitiano)
entre os vetores não normalizados
e
:
Portanto os autovetores normalizados que encontramos são ortonormais, como esperado para uma matriz hermitiana (e
é hermitiana).]
Resposta
Autovalores:
Autovetores normalizados: