Considere a matriz S_{y}=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\\ i & 0\end{array}\right). Encontre:
(a) Os autovalores de S_{y}.
(b) Os autovetores de S_{y}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
S_{y}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0 & -i \\[4pt] i & 0\end{pmatrix}
e pede:
(a) os autovalores de S_{y},
(b) os autovetores de S_{y}.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
\hbar
é uma constante (a constante de Planck reduzida), a matriz é 2\times2 com entradas complexas, e os autovetores/valores pedem solução da equação característica \det(S_{y}-\lambda I)=0 e, em seguida, resolução de (S_{y}-\lambda I)\mathbf{v}=0.]

Passo 2

Vamos simplificar a notação retirando o fator \hbar/2. Defina a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & -i \\[4pt] i & 0\end{pmatrix},
de modo que
S_{y}=\frac{\hbar}{2}A.
A estratégia: primeiro encontrar os autovalores de A, digamos \mu, resolvendo \det(A-\mu I)=0; depois os autovalores de S_{y} serão \lambda=(\hbar/2)\mu.]

Passo 3

Calcule o polinômio característico de A. Temos
\det(A-\mu I)=\det\begin{pmatrix}-\mu & -i \\[4pt] i & -\mu\end{pmatrix}.
Computando o determinante:
\det(A-\mu I)=(-\mu)(-\mu)-(-i)(i)=\mu^{2}-\big((-i)\,i\big).
Note que (-i)\,i=-i^{2}= -(-1)=1. Portanto
\det(A-\mu I)=\mu^{2}-1.
Igualando a zero:
\mu^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad \mu=\pm 1.]

Passo 4

Como \lambda=(\hbar/2)\mu, os autovalores de S_{y} são
\lambda=\pm\frac{\hbar}{2}.
Isso responde a parte (a). Agora vamos achar os autovetores correspondentes.

Passo 5

Autovetor para \lambda=+\dfrac{\hbar}{2}.
Nesse caso \mu=+1, então resolvemos (A-I)\mathbf{v}=0, com
A-I=\begin{pmatrix}-1 & -i \\[4pt] i & -1\end{pmatrix}.
Se \mathbf{v}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix}, as equações são
- a - i b = 0,
i a - b = 0.
Da primeira equação vem a=-i b. Substituindo na segunda:
i(-i b)-b = ( -i^{2})b - b = (1 - 1)b = 0,
que é satisfeita (consistência). Podemos escolher livremente b\neq 0; tome b=1. Então um autovetor (não normalizado) é
\mathbf{v}_{+}=\begin{pmatrix}-i\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
É comum escolher uma fase que deixe os componentes mais simples: multiplicando por i obtemos o vetor equivalente
\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}.
Vamos normalizar. A norma (padrão hermitiana) de \begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix} é
\sqrt{|1|^{2}+|i|^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Portanto o autovetor normalizado correspondente a \lambda=+\dfrac{\hbar}{2} é
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): aplicar S_{y} ao vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}.
Primeiro calcule A\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot1+(-i)\cdot i\\[4pt] i\cdot1+0\cdot i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-i^{2}\\[4pt] i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}.
Logo A age como multiplicação por +1 nesse vetor, e
S_{y}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}\right) =\frac{\hbar}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix},
confirmando que é autovetor com autovalor +\dfrac{\hbar}{2}.]

Passo 7

Autovetor para \lambda=-\dfrac{\hbar}{2}.
Agora \mu=-1, resolvemos (A+I)\mathbf{v}=0, com
A+I=\begin{pmatrix}1 & -i \\[4pt] i & 1\end{pmatrix}.
Para \mathbf{v}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix} obtemos
a - i b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = i b.
Escolhendo b=1 dá o autovetor (não normalizado)
\mathbf{v}_{-}=\begin{pmatrix}i\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Multiplicando por -i (apenas mudando a fase) obtemos a forma mais simples
\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix},
que tem norma \sqrt{1+1}=\sqrt{2}. Assim o autovetor normalizado correspondente a \lambda=-\dfrac{\hbar}{2} é
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação de ortogonalidade e consistência: calcule o produto interno (hermitiano)
entre os vetores não normalizados \begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}:
\big\langle \begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}\big\rangle =\overline{1}\cdot 1 + \overline{i}\cdot(-i) =1 + (-i)(-i)=1+i^{2}=1-1=0.
Portanto os autovetores normalizados que encontramos são ortonormais, como esperado para uma matriz hermitiana (e S_{y} é hermitiana).]

Resposta

Autovalores: \displaystyle +\frac{\hbar}{2},\; -\frac{\hbar}{2}.
Autovetores normalizados:
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix} \quad\text{(para }\lambda=+\tfrac{\hbar}{2}\text{)},
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix} \quad\text{(para }\lambda=-\tfrac{\hbar}{2}\text{)}.]

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