Considere um elétron inicialmente em repouso que é acelerado por uma diferença de potencial de
.
a) Determine o comprimento de onda associado ao elétron, utilizando a relação de de Broglie.
b) Com base no valor obtido, discuta se é possível observar padrões de interferência ao incidir um feixe de elétrons com essa energia sobre um cristal. Justifique sua resposta.
c) Avalie se, para a velocidade atingida pelo elétron, é necessário considerar correções relativísticas.
a) Determine o comprimento de onda associado ao elétron, utilizando a relação de de Broglie.
b) Com base no valor obtido, discuta se é possível observar padrões de interferência ao incidir um feixe de elétrons com essa energia sobre um cristal. Justifique sua resposta.
c) Avalie se, para a velocidade atingida pelo elétron, é necessário considerar correções relativísticas.
Passo 1
O enunciado dá um elétron inicialmente em repouso que é acelerado por uma diferença de potencial de
. As perguntas são:
- (a) Determinar o comprimento de onda associado ao elétron usando a relação de de Broglie.
- (b) Com base no valor obtido, discutir se é possível observar padrões de interferência ao incidir um feixe de elétrons com essa energia sobre um cristal, justificando.
- (c) Avaliar se, para a velocidade atingida pelo elétron, é necessário considerar correções relativísticas.
Informações / constantes que vamos usar (valores numéricos padrão):
- Constante de Planck:
. - Massa do elétron:
. - Carga elementar (conversão volts → joules):
(portanto energia em joules). - Velocidade da luz:
.
O valor da diferença de potencial é
Passo 2
Princípio físico que vou aplicar (aula rápida e concreta):
- Relação de de Broglie: toda partícula com momento linear
tem associada uma onda de comprimento de onda
Aqui
é a constante de Planck e
é o momento linear da partícula (unidade
).
- Se o elétron parte do repouso e é acelerado por uma diferença de potencial
, sua energia cinética (não-relativística) ganhou a quantidade
onde
está em joules. Na mecânica não-relativística,
Logo, podemos obter o momento
isolando:
Substituindo isso na relação de de Broglie obtemos a fórmula prática usada em muitos exercícios:
Vou explicar cada variável:
-
: comprimento de onda que queremos (em metros). -
: constante de Planck (em ). -
: massa do elétron (em ). -
: carga elementar (em coulombs), utilizada para transformar volts em joules. -
: diferença de potencial (em volts) que acelera o elétron.
Essa dedução usa a aproximação não-relativística
. Se a velocidade resultante for uma fração significativa da velocidade da luz, vamos depois checar correções relativísticas.
Passo 3
Vamos calcular
substituindo os números. Primeiro escrevo a fórmula em forma pronta:
Agora substituo as constantes e
:
- Calculo o produto
:
Faço em duas partes para ficar claro:
Então
Multiplicando os coeficientes:
E juntando potências de dez:
Agora tiro a raiz:
Esse é o momento
.
Finalmente o comprimento de onda:
Para interpretar melhor, converto para unidades comuns:
Observação prática: existe uma expressão usada frequentemente
. Aplicando
dá
, mesmo resultado — bom para checagem rápida na prova.
Passo 4
Interpretação física e resposta à pergunta (b): possibilidade de observar padrões de interferência/difração.
Para saber se haverá difração ao incidir os elétrons em um cristal usamos a ideia física de Bragg (explicação curta e prática):
- Um cristal tem planos com espaçamentos típicos da ordem de algumas dezenas a algumas centenas de picômetros (
tipicamente entre e , isto é a ). - A condição de Bragg para máximos de difração de ordem
é
onde
é o ângulo de difração medido a partir do plano cristalino.
Tomo um valor típico
só para estimar o ângulo (na prova você explicaria que d depende do cristal concreto — grafite, níquel, etc.). Para
,
Isso dá
.
Conclusão prática: o comprimento de onda calculado (
) é menor que o espaçamento entre planos atômicos típico (
), mas não é tão pequeno a ponto de tornar a difração impossível — ela apenas aparece em ângulos pequenos (alguns graus), mas esses ângulos são perfeitamente detectáveis experimentalmente. De fato, feixes de elétrons com energias da ordem de
são usados em difração eletrônica e microscopia eletrônica de transmissão; padrões de difração são observados rotineiramente.
Portanto, resposta direta para (b): sim, é possível observar padrões de interferência/difração com elétrons acelerados por
. A justificativa é que
tem ordem de grandeza compatível com distâncias interatômicas (fica na faixa de alguns picômetros a dezenas de picômetros) e, pela lei de Bragg, gera picos de difração em ângulos pequenos, mas observáveis.
Passo 5
Avaliação da necessidade de correções relativísticas (parte c) — cálculo da velocidade e estimativa da ordem de grandeza das correções.
Velocidade não-relativística a partir de
:
Substituindo os números:
Comparando com
:
Ou seja,
.
Outra maneira de ver o quanto a relatividade importa é comparar a energia cinética
com a energia de repouso
:
logo
.
Isso significa:
- A velocidade é cerca de
da velocidade da luz — moderada, não desprezível. - Mas a energia cinética é
da energia de repouso, então os efeitos relativísticos são pequenos, de ordem alguns por cento ou menos em quantidades como a relação energia-momento/ comprimento de onda.
Se quisermos ser rigorosos e calcular a correção relativística ao comprimento de onda, usamos
com
relativístico. Um cálculo rápido (mostrando somente a ordem de grandeza) dá que a correção relativística reduz o comprimento de onda em cerca de
em relação ao valor não-relativístico encontrado. Ou seja, o resultado não-relativístico
tem erro muito pequeno (fração de 1%) por causa da relatividade para
.
Conclusão prática para a prova: para estimativas e interpretação (difração, ordem de magnitude) não é necessário incluir correções relativísticas; se precisar de precisão melhor que
, aí vale a pena usar a expressão relativística para
e recalcular
.
Passo 6
Resumo final pedagógico e incentivo (como um amigo explicando rápido):
- Usei a ideia de que a energia ganha
se transforma em energia cinética; com isso encontrei e . - Numérico:
( ). - Isso é compatível com observar difração em cristais (ângulos pequenos, mas detectáveis).
- Correções relativísticas existem, mas são pequenas aqui (ordem de
na ); para análise qualitativa podemo-las ignorar.
Vai com calma na prova: escreve a fórmula, mostra as substituições das constantes, faz uma estimativa de
do cristal e aplica Bragg para mostrar que a difração é visível — isso deixa a resposta completa e convincente.
Resposta
(a)
(b) Sim — padrões de interferência/difração são observáveis; com típico de planos cristalinos (
) a condição de Bragg dá ângulos pequenos (da ordem de
–
) mas detectáveis.
(c) Correções relativísticas são pequenas aqui: , e a correção em
é da ordem de
; para estimativas a aproximação não-relativística é aceitável.
(b) Sim — padrões de interferência/difração são observáveis; com
(c) Correções relativísticas são pequenas aqui: