Considere um elétron inicialmente em repouso que é acelerado por uma diferença de potencial de 10 \times 10^{3} \mathrm{~V}.
a) Determine o comprimento de onda associado ao elétron, utilizando a relação de de Broglie.
b) Com base no valor obtido, discuta se é possível observar padrões de interferência ao incidir um feixe de elétrons com essa energia sobre um cristal. Justifique sua resposta.
c) Avalie se, para a velocidade atingida pelo elétron, é necessário considerar correções relativísticas.

Passo 1

O enunciado dá um elétron inicialmente em repouso que é acelerado por uma diferença de potencial de 10\times10^{3}\\ \mathrm{V}. As perguntas são:
  • (a) Determinar o comprimento de onda associado ao elétron usando a relação de de Broglie.
  • (b) Com base no valor obtido, discutir se é possível observar padrões de interferência ao incidir um feixe de elétrons com essa energia sobre um cristal, justificando.
  • (c) Avaliar se, para a velocidade atingida pelo elétron, é necessário considerar correções relativísticas.
Informações / constantes que vamos usar (valores numéricos padrão):
  • Constante de Planck: h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Massa do elétron: m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Carga elementar (conversão volts → joules): e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (portanto energia eV em joules).
  • Velocidade da luz: c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O valor da diferença de potencial é
V = 10\times10^{3}\\ \mathrm{V} = 1{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Princípio físico que vou aplicar (aula rápida e concreta):
  • Relação de de Broglie: toda partícula com momento linear p tem associada uma onda de comprimento de onda
\lambda = \frac{h}{p}.
Aqui h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula (unidade \mathrm{kg\cdot m/s}).
  • Se o elétron parte do repouso e é acelerado por uma diferença de potencial V, sua energia cinética (não-relativística) ganhou a quantidade
K = eV,
onde K está em joules. Na mecânica não-relativística,
K = \frac{p^{2}}{2m}.
Logo, podemos obter o momento p isolando:
p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2m\,eV}.
Substituindo isso na relação de de Broglie obtemos a fórmula prática usada em muitos exercícios:
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m\,eV}}.
Vou explicar cada variável:
  • \lambda: comprimento de onda que queremos (em metros).
  • h: constante de Planck (em \mathrm{J\cdot s}).
  • m: massa do elétron (em \mathrm{kg}).
  • e: carga elementar (em coulombs), utilizada para transformar volts em joules.
  • V: diferença de potencial (em volts) que acelera o elétron.
Essa dedução usa a aproximação não-relativística K=\tfrac{1}{2}mv^{2}. Se a velocidade resultante for uma fração significativa da velocidade da luz, vamos depois checar correções relativísticas.

Passo 3

Vamos calcular \lambda substituindo os números. Primeiro escrevo a fórmula em forma pronta:
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m\,eV}}.
Agora substituo as constantes e V=1{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{V}:
  • Calculo o produto 2m\,eV:
2m\,eV = 2\cdot (9{,}10938356\times10^{-31})\cdot(1{,}602176634\times10^{-19})\cdot(1{,}0\times10^{4}).
Faço em duas partes para ficar claro:
eV = 1{,}602176634\times10^{-19}\times1{,}0\times10^{4} = 1{,}602176634\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
Então
2m\,eV = 2\cdot 9{,}10938356\times10^{-31}\cdot 1{,}602176634\times10^{-15}.
Multiplicando os coeficientes:
2\cdot 9{,}10938356\cdot 1{,}602176634 \approx 29{,}1897\quad\text{(mantendo algarismos suficientes)}.
E juntando potências de dez:
2m\,eV \approx 2{,}91897\times10^{-45}\\ \mathrm{(kg^{2}\,m^{2}/s^{2})}.
Agora tiro a raiz:
\sqrt{2m\,eV} \approx \sqrt{2{,}91897\times10^{-45}} \approx 5{,}403\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Esse é o momento p.
Finalmente o comprimento de onda:
\lambda = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{5{,}403\times10^{-23}} \approx 1{,}226\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Para interpretar melhor, converto para unidades comuns:
\lambda \approx 1{,}226\times10^{-11}\\ \mathrm{m} = 0{,}01226\\ \mathrm{nm} = 12{,}26\\ \mathrm{pm}.
Observação prática: existe uma expressão usada frequentemente \lambda(\mathrm{nm})\approx \dfrac{1{,}226}{\sqrt{V(\mathrm{V})}}. Aplicando \sqrt{1{,}0\times10^{4}}=100 \lambda\approx 1{,}226/100=0{,}01226\\ \mathrm{nm}, mesmo resultado — bom para checagem rápida na prova.

Passo 4

Interpretação física e resposta à pergunta (b): possibilidade de observar padrões de interferência/difração.
Para saber se haverá difração ao incidir os elétrons em um cristal usamos a ideia física de Bragg (explicação curta e prática):
  • Um cristal tem planos com espaçamentos típicos da ordem de algumas dezenas a algumas centenas de picômetros ( d tipicamente entre \sim 0{,}1\\ \mathrm{nm} e \sim 0{,}3\\ \mathrm{nm}, isto é 100 a 300\\ \mathrm{pm}).
  • A condição de Bragg para máximos de difração de ordem n é
n\lambda = 2d\sin\theta,
onde \theta é o ângulo de difração medido a partir do plano cristalino.
Tomo um valor típico d=0{,}20\\ \mathrm{nm}=200\\ \mathrm{pm} só para estimar o ângulo (na prova você explicaria que d depende do cristal concreto — grafite, níquel, etc.). Para n=1,
\sin\theta = \frac{\lambda}{2d} = \frac{1{,}226\times10^{-11}}{2\cdot2{,}0\times10^{-10}} = \frac{1{,}226\times10^{-11}}{4{,}0\times10^{-10}} \approx 0{,}0307.
Isso dá \theta\approx 1{,}76^\circ.
Conclusão prática: o comprimento de onda calculado ( 12{,}3\\ \mathrm{pm}) é menor que o espaçamento entre planos atômicos típico ( \sim100\text{–}300\\ \mathrm{pm}), mas não é tão pequeno a ponto de tornar a difração impossível — ela apenas aparece em ângulos pequenos (alguns graus), mas esses ângulos são perfeitamente detectáveis experimentalmente. De fato, feixes de elétrons com energias da ordem de 10\\ \mathrm{keV} são usados em difração eletrônica e microscopia eletrônica de transmissão; padrões de difração são observados rotineiramente.
Portanto, resposta direta para (b): sim, é possível observar padrões de interferência/difração com elétrons acelerados por 10\times10^{3}\\ \mathrm{V}. A justificativa é que \lambda tem ordem de grandeza compatível com distâncias interatômicas (fica na faixa de alguns picômetros a dezenas de picômetros) e, pela lei de Bragg, gera picos de difração em ângulos pequenos, mas observáveis.

Passo 5

Avaliação da necessidade de correções relativísticas (parte c) — cálculo da velocidade e estimativa da ordem de grandeza das correções.
Velocidade não-relativística a partir de K=\tfrac{1}{2}mv^{2}=eV:
v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}.
Substituindo os números:
v = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}602176634\times10^{-19}\cdot 1{,}0\times10^{4}}{9{,}10938356\times10^{-31}}} \approx 5{,}93\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Comparando com c:
\frac{v}{c}\approx \frac{5{,}93\times10^{7}}{2{,}998\times10^{8}}\approx 0{,}198 \approx 0{,}20.
Ou seja, v\approx 0{,}20\,c.
Outra maneira de ver o quanto a relatividade importa é comparar a energia cinética K=eV com a energia de repouso m c^{2}:
m c^{2}\approx 511\\ \mathrm{keV}, \qquad K=10\\ \mathrm{keV},
logo K/(mc^{2})\approx 10/511\approx 0{,}0196\approx 1{,}96\%.
Isso significa:
  • A velocidade é cerca de 20\% da velocidade da luz — moderada, não desprezível.
  • Mas a energia cinética é \sim2\% da energia de repouso, então os efeitos relativísticos são pequenos, de ordem alguns por cento ou menos em quantidades como a relação energia-momento/ comprimento de onda.
Se quisermos ser rigorosos e calcular a correção relativística ao comprimento de onda, usamos \lambda = h/p com p relativístico. Um cálculo rápido (mostrando somente a ordem de grandeza) dá que a correção relativística reduz o comprimento de onda em cerca de 0{,}4\% em relação ao valor não-relativístico encontrado. Ou seja, o resultado não-relativístico \lambda\approx 1{,}226\times10^{-11}\\ \mathrm{m} tem erro muito pequeno (fração de 1%) por causa da relatividade para V=10\\ \mathrm{kV}.
Conclusão prática para a prova: para estimativas e interpretação (difração, ordem de magnitude) não é necessário incluir correções relativísticas; se precisar de precisão melhor que \sim 1\%, aí vale a pena usar a expressão relativística para p e recalcular \lambda.

Passo 6

Resumo final pedagógico e incentivo (como um amigo explicando rápido):
  • Usei a ideia de que a energia ganha eV se transforma em energia cinética; com isso encontrei p=\sqrt{2m eV} e \lambda=h/p.
  • Numérico: \lambda\approx 1{,}226\times10^{-11}\\ \mathrm{m} ( =12{,}26\\ \mathrm{pm}).
  • Isso é compatível com observar difração em cristais (ângulos pequenos, mas detectáveis).
  • Correções relativísticas existem, mas são pequenas aqui (ordem de 0{,}4\% na \lambda); para análise qualitativa podemo-las ignorar.
Vai com calma na prova: escreve a fórmula, mostra as substituições das constantes, faz uma estimativa de d do cristal e aplica Bragg para mostrar que a difração é visível — isso deixa a resposta completa e convincente.

Resposta

(a) \lambda \approx 1{,}226\times10^{-11}\\ \mathrm{m} = 0{,}01226\\ \mathrm{nm} = 12{,}26\\ \mathrm{pm}.
(b) Sim — padrões de interferência/difração são observáveis; com d típico de planos cristalinos ( \sim100\text{–}300\\ \mathrm{pm}) a condição de Bragg dá ângulos pequenos (da ordem de 1^\circ 3^\circ) mas detectáveis.
(c) Correções relativísticas são pequenas aqui: v\approx 5{,}93\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}20\,c, e a correção em \lambda é da ordem de 0{,}4\%; para estimativas a aproximação não-relativística é aceitável.

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