Um nêutron térmico tem uma energia cinética \frac{3}{2} k_{B} T, onde T à temperatura ambiente, 300 K . Estes nêutrons estão em equilíbrio térmico com o ambiente. (a) Qual é a energia em elétron-volt de um nêutron térmico? (b) Qual ó o comprimento de onda de de Broglie?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pergunta (a): calcular a energia de um nêutron térmico em elétron-volt.
  • Pergunta (b): calcular o comprimento de onda de de Broglie desse nêutron.
  • Informação dada: a energia cinética média é \tfrac{3}{2}k_{B}T, com T=300\\ \text{K} (temperatura ambiente).
  • Constantes que usaremos (valores em SI):
    • Constante de Boltzmann: k_{B}=1,380649\times10^{-23}\\ \text{J/K}.
    • Relação de conversão: 1\\ \text{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \text{J}.
    • Massa do nêutron: m_{n}=1,67492749804\times10^{-27}\\ \text{kg}.
    • Constante de Planck: h=6,62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}.
  • Observação importante (sem resolver ainda): usaremos a expressão não-relativística para a energia cinética e para a relação de de Broglie, porque a energia térmica aqui é muitíssimo menor que a energia de repouso do nêutron (portanto a aproximação clássica/quântica não-relativística é válida).

Passo 2

Calcular a energia cinética média em joules. Primeiro calcule k_{B}T:
k_{B}T = (1,380649\times10^{-23})\times(300)=4,141947\times10^{-21}\\ \text{J}.
A energia cinética média é \tfrac{3}{2}k_{B}T, então
E = \tfrac{3}{2}k_{B}T = 1,5\times4,141947\times10^{-21}=6,2129205\times10^{-21}\\ \text{J}.
Aqui deixei os passos numéricos explícitos para você poder refazer com calma na prova.

Passo 3

Converter a energia de joules para elétron-volt. Usamos 1\\ \text{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \text{J}, então
E_{\text{(eV)}}=\frac{E}{1{,}602176634\times10^{-19}}=\frac{6,2129205\times10^{-21}}{1{,}602176634\times10^{-19}}.
Fazendo a divisão:
E_{\text{(eV)}}\approx0,03878\\ \text{eV}=38,78\\ \text{meV}.
Explicação curta do porquê: dividir joules por joules por elétron-volt dá o valor em eV; aqui obtivemos algumas dezenas de mili-eV (energia térmica típica).

Passo 4

Preparar a fórmula do comprimento de onda de de Broglie e justificar a forma usada. A relação de de Broglie é
\lambda=\frac{h}{p},
onde p é o momento do nêutron. Para uma partícula não-relativística com energia cinética E vale
E=\frac{p^{2}}{2m}\quad\Rightarrow\quad p=\sqrt{2mE}.
Portanto
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2mE}}.
Comentário didático: essa fórmula vem de juntar p=h/\lambda (de Broglie) com a expressão clássica da energia cinética. Usamos-a quando E\ll m c^{2}, o que é verdadeiro aqui (energia térmica \sim10^{-20}\\ \text{J} é extremamente pequena comparada a m_{n}c^{2}\sim1{,}5\times10^{-10}\\ \text{J}).

Passo 5

Calcular o momento p=\sqrt{2m_{n}E} usando m_{n} e E em joules:
2m_{n}E = 2\times(1,67492749804\times10^{-27})\times(6,2129205\times10^{-21}).
Calcule o produto:
2m_{n}E \approx 3,34985499608\times10^{-27}\times6,2129205\times10^{-21}\approx2,0811\times10^{-47}\\ (\text{kg}^{2}\,\text{m}^{2}\,\text{s}^{-2}).
Tirando a raiz:
p=\sqrt{2,0811\times10^{-47}}\approx4,563\times10^{-24}\\ \text{kg}\cdot\text{m/s}.
De novo, coloquei os passos para que você possa refazer sem segredo.

Passo 6

Calcular o comprimento de onda:
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6,62607015\times10^{-34}}{4,563\times10^{-24}}\approx1,452\times10^{-10}\\ \text{m}.
Arredondando de forma prática:
\lambda\approx1,45\times10^{-10}\\ \text{m}\approx1,45\\ \text{\AA}.
Interpretação rápida: esse comprimento de onda está na ordem de grandeza dos espaçamentos atômicos, por isso nêutrons térmicos são muito usados em difração em cristais.

Resposta

(a) 0,0388\\ \text{eV}
(b) 1,45\times10^{-10}\\ \text{m}\\ (\approx1,45\\ \text{\AA})

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