Considere um elétron orbitando um próton numa trajetória circular de raio R=5,29 \times 10^{-11} \mathrm{~m} devido à atração Coulombiana. Considere o sistema como se fosse um anel por onde passa uma corrente. Qual será o torque resultante quando o sistema for colocado numa região de campo magnético B=0,4 T perpendicular ao momento magnético do anel?

Passo 1

O enunciado descreve um elétron de carga -e descrevendo uma órbita circular de raio R=5,29\times10^{-11}\,\mathrm{m} em torno do próton, o que equivale a uma corrente i num anel de mesma geometria. Quando esse “anel” é imerso num campo magnético uniforme de módulo B=0,4\,\mathrm{T} perpendicular ao seu momento magnético, ele sofre um torque dado por
\tau = \mu\,B\sin\theta,
sendo \theta=90^\circ (perpendicular) e \mu o momento magnético da corrente. Nosso objetivo é calcular \mu e, em seguida, \tau.

Passo 2

Para achar a velocidade orbital v, igualamos a força de Coulomb à força centrípeta:
\frac{k\,e^2}{R^2} = \frac{m\,v^2}{R},
onde k=1/(4\pi\epsilon_0)\approx9{,}0\times10^9\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}, e=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C} e m=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}. Assim,
v = \sqrt{\frac{k\,e^2}{m\,R}} \approx \sqrt{\frac{9{,}0\times10^9\times(1{,}602\times10^{-19})^2}{9{,}11\times10^{-31}\times5{,}29\times10^{-11}}} \approx 2{,}19\times10^6\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

O período da órbita é
T = \frac{2\pi R}{v} \approx \frac{2\pi\times5{,}29\times10^{-11}}{2{,}19\times10^6} \approx 1{,}52\times10^{-16}\,\mathrm{s}.
A corrente associada ao elétron é
i = \frac{e}{T} \approx \frac{1{,}602\times10^{-19}}{1{,}52\times10^{-16}} \approx 1{,}05\times10^{-3}\,\mathrm{A}.

Passo 4

A área do “anel” é A=\pi R^2, logo o momento magnético vale
\mu = i\,A = i\,\pi R^2 \approx 1{,}05\times10^{-3}\times\pi\times(5{,}29\times10^{-11})^2 \approx 9{,}27\times10^{-24}\,\mathrm{A\cdot m^2}.

Passo 5

Como \theta=90^\circ, o torque é
\tau = \mu\,B \approx 9{,}27\times10^{-24}\times0,4 \approx 3{,}71\times10^{-24}\,\mathrm{N\cdot m}.

Resposta

O torque resultante é aproximadamente
\tau \approx 3{,}7\times10^{-24}\,\mathrm{N\cdot m}.

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