Considere um elétron e um próton, suas massas são respectivamente
e
.
(a) Mostre que a razão da atração gravitacional para a atração eletrostática entre os dois é independente da distância entre eles.
(b) Calcule qual é essa razão. Considere que a constante eletrostática é
e a constante gravitacional é
(a) Mostre que a razão da atração gravitacional para a atração eletrostática entre os dois é independente da distância entre eles.
(b) Calcule qual é essa razão. Considere que a constante eletrostática é
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
-
O enunciado pede:
- (a) mostrar que a razão entre a atração gravitacional e a atração eletrostática entre um elétron e um próton é independente da distância entre eles;
- (b) calcular numericamente essa razão.
-
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Massa do elétron:
. - Massa do próton:
. - Constante eletrostática:
. - Constante gravitacional:
.
- Massa do elétron:
-
Informação adicional padrão (não fornecida no enunciado, mas necessária para o cálculo):
- Carga elementar (módulo da carga do elétron/próton):
. - As cargas do elétron e do próton são de mesmo módulo e sinais opostos:
e .
- Carga elementar (módulo da carga do elétron/próton):
Passo 2
Apresentar as leis que descrevem as forças e explicar cada termo (aula curta).
- Lei de Coulomb (força eletrostática entre duas cargas puntiformes):
Explicação das variáveis: -
é a magnitude da força eletrostática (em newtons, ). -
é a constante eletrostática dada (em ). -
são as cargas (em coulombs, ); usamos o valor absoluto porque tratamos da magnitude. -
é a distância entre as cargas (em metros, ).
Observação didática: a formamostra que a força elétrica entre duas cargas puntiformes diminui com o quadrado da distância.
-
Passo 3
Lei da gravitação universal (força gravitacional entre duas massas puntiformes) e explicação.
- Lei de Newton da gravitação universal:
Explicação das variáveis: -
é a magnitude da força gravitacional (em ). -
é a constante gravitacional dada (em ). -
são as massas (em ). -
é a distância entre as massas (em ).
Observação didática: também aparece um fator, igual ao da lei de Coulomb, o que já sugere uma possível independência da razão em relação a .
-
Passo 4
Formar a razão entre as duas forças e mostrar a independência de
(resposta à parte (a)).
- Calcule a razão
substituindo as fórmulas: - Como
, os factores cancelam exatamente, portanto (usei porque as cargas têm mesmo módulo). - Conclusão (parte (a)): a razão
não depende de ; ela depende apenas das constantes e das massas e cargas envolvidas.
Passo 5
Preparar a conta numérica passo a passo (aula prática sobre multiplicação em notação científica).
Vamos calcular cada parte em notação científica para ficar organizado.
- Produto das massas:
Multiplicando mantissas e somando expoentes:
A multiplicação das mantissas dá aproximadamente
. Logo
- Numerador
:
portanto
- Quadrado da carga elementar:
logo
- Denominador
:
portanto
- Razão final:
logo
Arredondando com 3 algarismos significativos obtemos aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação curta e incentivo (motivação).
- Interpretação física: a força gravitacional entre um elétron e um próton é extremamente menor que a força elétrica de atração entre eles — cerca de
vezes menor. Em palavras: a interação elétrica domina completamente a interação gravitacional em escalas atômicas. - Dá para usar esse mesmo procedimento para qualquer par de partículas puntiformes: se as massas e cargas forem conhecidas, a razão será dada por
e, se ambos os termos têm , a distância cancela.
Resposta
(a) A razão é independente da distância
;
.
(b)
(b)