Considere um elétron e um próton, suas massas são respectivamente m_{e}=9.1093837139 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} e m_{p}=1.67262192595 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}.
(a) Mostre que a razão da atração gravitacional para a atração eletrostática entre os dois é independente da distância entre eles.
(b) Calcule qual é essa razão. Considere que a constante eletrostática é k=8.987551785972 \times 10^{9} \frac{\mathrm{Nm}^{2}}{\mathrm{C}^{2}} e a constante gravitacional é G=6.67430 \times 10^{-11} \frac{\mathrm{Nm}^{2}}{\mathrm{~kg}^{2}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O enunciado pede:
    • (a) mostrar que a razão entre a atração gravitacional e a atração eletrostática entre um elétron e um próton é independente da distância entre eles;
    • (b) calcular numericamente essa razão.
  • Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
    • Massa do elétron: m_{e}=9,1093837139\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
    • Massa do próton: m_{p}=1,67262192595\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
    • Constante eletrostática: k=8,987551785972\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
    • Constante gravitacional: G=6,67430\times10^{-11}\\ \mathrm{N\,m^{2}/kg^{2}}.
  • Informação adicional padrão (não fornecida no enunciado, mas necessária para o cálculo):
    • Carga elementar (módulo da carga do elétron/próton): e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • As cargas do elétron e do próton são de mesmo módulo e sinais opostos: q_{e}=-e e q_{p}=+e.

Passo 2

Apresentar as leis que descrevem as forças e explicar cada termo (aula curta).
  • Lei de Coulomb (força eletrostática entre duas cargas puntiformes): F_{e}=k\,\frac{|q_{1}q_{2}|}{r^{2}}.Explicação das variáveis:
    • F_{e} é a magnitude da força eletrostática (em newtons, \mathrm{N}).
    • k é a constante eletrostática dada (em \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}).
    • q_{1},q_{2} são as cargas (em coulombs, \mathrm{C}); usamos o valor absoluto porque tratamos da magnitude.
    • r é a distância entre as cargas (em metros, \mathrm{m}).
      Observação didática: a forma \dfrac{1}{r^{2}} mostra que a força elétrica entre duas cargas puntiformes diminui com o quadrado da distância.

Passo 3

Lei da gravitação universal (força gravitacional entre duas massas puntiformes) e explicação.
  • Lei de Newton da gravitação universal: F_{g}=G\,\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}.Explicação das variáveis:
    • F_{g} é a magnitude da força gravitacional (em \mathrm{N}).
    • G é a constante gravitacional dada (em \mathrm{N\,m^{2}/kg^{2}}).
    • m_{1},m_{2} são as massas (em \mathrm{kg}).
    • r é a distância entre as massas (em \mathrm{m}).
      Observação didática: também aparece um fator \dfrac{1}{r^{2}}, igual ao da lei de Coulomb, o que já sugere uma possível independência da razão em relação a r.

Passo 4

Formar a razão entre as duas forças e mostrar a independência de r (resposta à parte (a)).
  • Calcule a razão \dfrac{F_{g}}{F_{e}} substituindo as fórmulas: \frac{F_{g}}{F_{e}} =\frac{G\,\dfrac{m_{e}m_{p}}{r^{2}}}{k\,\dfrac{|q_{e}q_{p}|}{r^{2}}} =\frac{G\,m_{e}m_{p}}{k\,|q_{e}q_{p}|}\cdot\frac{r^{-2}}{r^{-2}}.
  • Como \dfrac{r^{-2}}{r^{-2}}=1, os factores r^{2} cancelam exatamente, portanto \boxed{\frac{F_{g}}{F_{e}}=\frac{G\,m_{e}m_{p}}{k\,e^{2}}}(usei |q_{e}q_{p}|=e^{2} porque as cargas têm mesmo módulo).
  • Conclusão (parte (a)): a razão \dfrac{F_{g}}{F_{e}} não depende de r; ela depende apenas das constantes G,k e das massas e cargas envolvidas.

Passo 5

Preparar a conta numérica passo a passo (aula prática sobre multiplicação em notação científica).
Vamos calcular cada parte em notação científica para ficar organizado.
  1. Produto das massas:
m_{e}m_{p}=(9,1093837139\times10^{-31})\cdot(1,67262192595\times10^{-27}).
Multiplicando mantissas e somando expoentes:
m_{e}m_{p}\approx(9,1093837139\cdot1,67262192595)\times10^{-58}.
A multiplicação das mantissas dá aproximadamente 9,1093837139\cdot1,67262192595\approx15,2365. Logo
m_{e}m_{p}\approx1,52365\times10^{-57}\\ \mathrm{kg^{2}}.
  1. Numerador G\,m_{e}m_{p}:
G\,m_{e}m_{p}=(6,67430\times10^{-11})\cdot(1,52365\times10^{-57}) \approx(6,67430\cdot1,52365)\times10^{-68}.
6,67430\cdot1,52365\approx10,1693,
portanto
G\,m_{e}m_{p}\approx1,01693\times10^{-67}.
  1. Quadrado da carga elementar:
e^{2}=(1,602176634\times10^{-19})^{2}=(1,602176634^{2})\times10^{-38}.
1,602176634^{2}\approx2,5669699,
logo
e^{2}\approx2,5669699\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}}.
  1. Denominador k\,e^{2}:
k\,e^{2}=(8,987551785972\times10^{9})\cdot(2,5669699\times10^{-38}) \approx(8,987551785972\cdot2,5669699)\times10^{-29}.
8,987551785972\cdot2,5669699\approx23,0710,
portanto
k\,e^{2}\approx2,30710\times10^{-28}.
  1. Razão final:
\frac{F_{g}}{F_{e}}=\frac{G\,m_{e}m_{p}}{k\,e^{2}} \approx\frac{1,01693\times10^{-67}}{2,30710\times10^{-28}} =\frac{1,01693}{2,30710}\times10^{-39}.
\frac{1,01693}{2,30710}\approx0,4406,
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\frac{F_{g}}{F_{e}}\approx4,406\times10^{-40}.
Arredondando com 3 algarismos significativos obtemos aproximadamente 4,41\times10^{-40}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo (motivação).
  • Interpretação física: a força gravitacional entre um elétron e um próton é extremamente menor que a força elétrica de atração entre eles — cerca de 10^{40} vezes menor. Em palavras: a interação elétrica domina completamente a interação gravitacional em escalas atômicas.
  • Dá para usar esse mesmo procedimento para qualquer par de partículas puntiformes: se as massas e cargas forem conhecidas, a razão será dada por \dfrac{G m_{1}m_{2}}{k q_{1}q_{2}} e, se ambos os termos têm 1/r^{2}, a distância cancela.

Resposta

(a) A razão é independente da distância r; \dfrac{F_{g}}{F_{e}}=\dfrac{G\,m_{e}m_{p}}{k\,e^{2}}.
(b) \dfrac{F_{g}}{F_{e}}\approx4,41\times10^{-40}

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