Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{C} x y e^{z t} d y, \quad C: x=t, \quad y=t^{2}, \quad z=t^{3}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y e^{z t}\,dy,
onde a curva C é dada pela parametrização
x=t,\qquad y=t^{2},\qquad z=t^{3},\qquad 0\le t\le 1.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A função a integrar é x y e^{z t} multiplicada por dy.
  • A curva está parametrizada por t no intervalo [0,1].
  • O que se pede é o valor numérico (definido) da integral de linha ao longo de C.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): para uma integral de linha escrita com o diferencial dy, ao usar a parametrização x(t),y(t),z(t) substitui-se x,y,z pelas suas expressões em t e substitui-se dy por y'(t)\,dt. Ou seja, vale a regra seguinte:
\int_{C} x y e^{z t}\,dy = \int_{t=a}^{t=b} x(t)\,y(t)\,e^{z(t)\,t}\,y'(t)\,dt.
Explicando cada símbolo para ficar bem claro:
  • x(t),y(t),z(t) são as coordenadas da curva em função do parâmetro t.
  • y'(t) é a derivada de y em relação a t.
  • O expoente z t significa o produto z(t)\cdot t (atenção: t aparece tanto como parâmetro quanto dentro do integrando).
Agora aplico isso ao caso dado.

Passo 3

Substituir x(t),y(t),z(t) e calcular y'(t).
Temos
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2},\qquad z(t)=t^{3}.
Então
x(t)y(t)=t\cdot t^{2}=t^{3},
e
z(t)\,t = t^{3}\cdot t = t^{4}.
A derivada de y é
y'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Portanto o integrando parametrizado fica
x(t)\,y(t)\,e^{z(t)\,t}\,y'(t) = t^{3}\,e^{t^{4}}\cdot 2t = 2\,t^{4}\,e^{t^{4}}.
Assim a integral de linha transforma-se em uma integral usual em t:
\int_{C} x y e^{z t}\,dy = \int_{0}^{1} 2\,t^{4}\,e^{t^{4}}\,dt.

Passo 4

Tentar integrar \int_{0}^{1}2\,t^{4}e^{t^{4}}\,dt.
Uma substituição natural é u=t^{4}. Então
u=t^{4}\quad\Rightarrow\quad du=4t^{3}\,dt.
Note que dt não aparece sozinho multiplicando t^{3} na nossa integral (temos t^{4}dt), por isso a integral não vira imediatamente uma primitiva elementar simples com essa substituição. Fazendo a mudança de variável cuidadosamente:
quando t vai de 0 a 1, u também vai de 0 a 1. Escrevendo t^{4}=u e dt=\dfrac{du}{4t^{3}}=\dfrac{du}{4u^{3/4}} obtemos
\int_{0}^{1}2\,t^{4}e^{t^{4}}\,dt = \int_{0}^{1}2\,u\,e^{u}\cdot \frac{du}{4u^{3/4}} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^{1/4}e^{u}\,du.
Portanto uma forma exata e compacta da integral é
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^{1/4}e^{u}\,du.
Observação importante (teórica): a função u^{1/4}e^{u} não tem primitiva elementar expressável por funções elementares (polinomiais, exponenciais, logaritmos, trigonométricas, etc.). Por isso a integral definida acima não se reduz a uma expressão elementar simples. Em provas, é aceitável apresentar a integral reduzida a uma integral padrão (como fiz) ou expressá-la em séries ou em termos de funções especiais.

Passo 5

Expressar a integral por séries e calcular uma aproximação numérica (útil na prova se for pedido valor numérico).
Expandindo e^{t^{4}} em série de Taylor:
e^{t^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{4n}}{n!}.
Multiplicando por 2t^{4} e integrando termo a termo (justificado pela convergência uniforme no intervalo compacto [0,1]):
\int_{0}^{1}2t^{4}e^{t^{4}}\,dt = 2\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{t^{4n+4}}{n!}\,dt = 2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot\frac{1}{4n+5}.
Logo a integral tem a representação em série
\int_{C} x y e^{z t}\,dy = 2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,(4n+5)}.
Agora faço soma parcial para obter uma aproximação numérica rápida (alguns termos já dão boa precisão):
Cálculo dos primeiros termos:
\begin{aligned} n=0&:\; \frac{2}{5}=0{,}4000000,\\\ n=1&:\; \frac{2}{9}\approx 0{,}2222222,\\\ n=2&:\; \frac{2}{2!\cdot 13}=\frac{1}{13}\approx 0{,}0769231,\\\ n=3&:\; \frac{2}{6\cdot 17}=\frac{2}{102}\approx 0{,}0196078,\\\ n=4&:\; \frac{2}{24\cdot 21}\approx 0{,}0039683,\\\ n=5&:\; \frac{2}{120\cdot 25}\approx 0{,}0006667,\\\ \end{aligned}
Somando esses termos (e mais alguns termos pequenos) obtém-se rapidamente a convergência:
\int_{C} x y e^{z t}\,dy \approx 0{,}723497\\ \text{(aprox.)}.
A soma parcial até n=9 já fornece a aproximação estável 0{,}723497 com erro menor que 10^{-6} aproximadamente.

Resposta

\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{1}u^{1/4}e^{u}\,du \approx 0{,}723497

Exercícios relacionados