Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização
Dados importantes extraídos do enunciado:
- A função a integrar é
multiplicada por . - A curva está parametrizada por
no intervalo . - O que se pede é o valor numérico (definido) da integral de linha ao longo de
.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): para uma integral de linha escrita com o diferencial
, ao usar a parametrização
substitui-se
pelas suas expressões em
e substitui-se
por
. Ou seja, vale a regra seguinte:
Explicando cada símbolo para ficar bem claro:
-
são as coordenadas da curva em função do parâmetro . -
é a derivada de em relação a . - O expoente
significa o produto (atenção: aparece tanto como parâmetro quanto dentro do integrando).
Agora aplico isso ao caso dado.
Passo 3
Substituir
e calcular
.
Temos
Então
e
A derivada de
é
Portanto o integrando parametrizado fica
Assim a integral de linha transforma-se em uma integral usual em
:
Passo 4
Tentar integrar
.
Uma substituição natural é
. Então
Note que
não aparece sozinho multiplicando
na nossa integral (temos
), por isso a integral não vira imediatamente uma primitiva elementar simples com essa substituição. Fazendo a mudança de variável cuidadosamente:
quando
vai de
a
,
também vai de
a
. Escrevendo
e
obtemos
Portanto uma forma exata e compacta da integral é
Observação importante (teórica): a função
não tem primitiva elementar expressável por funções elementares (polinomiais, exponenciais, logaritmos, trigonométricas, etc.). Por isso a integral definida acima não se reduz a uma expressão elementar simples. Em provas, é aceitável apresentar a integral reduzida a uma integral padrão (como fiz) ou expressá-la em séries ou em termos de funções especiais.
Passo 5
Expressar a integral por séries e calcular uma aproximação numérica (útil na prova se for pedido valor numérico).
Expandindo
em série de Taylor:
Multiplicando por
e integrando termo a termo (justificado pela convergência uniforme no intervalo compacto
):
Logo a integral tem a representação em série
Agora faço soma parcial para obter uma aproximação numérica rápida (alguns termos já dão boa precisão):
Cálculo dos primeiros termos:
Somando esses termos (e mais alguns termos pequenos) obtém-se rapidamente a convergência:
A soma parcial até
já fornece a aproximação estável
com erro menor que
aproximadamente.