Cargas pontuals de +6 \mu \mathrm{C} e -4 \mu \mathrm{C} são mantidas fixas sobre o eixo X nos pontos X=8 \mathrm{~m} e X=15 \mathrm{~m}, respectivamente. Que carga ( q !) deve ser colocada no ponto X=24 \mathrm{~m} para que a força eletrostática total sobre uma carga q que está na origem do sistema de coordenadas seja nula. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes cargas fixas sobre o eixo X:
  • Uma carga +6\\ \mu\mathrm{C} localizada em X=8\\ \mathrm{m}.
  • Uma carga -4\\ \mu\mathrm{C} localizada em X=15\\ \mathrm{m}.
  • Uma carga desconhecida (vou chamar de Q) a ser colocada em X=24\\ \mathrm{m}.
No centro do sistema, na origem X=0, existe uma outra carga (chamada no enunciado de q). A exigência é: escolher Q de modo que a força eletrostática total exercida sobre a carga \,q que está na origem seja nula.
Resumo do que se pede:
  • Determinar Q (valor e sinal) para que a soma vetorial das forças sobre a carga na origem seja zero.

Passo 2

Relembrando a lei de Coulomb (aula rápida e prática para a prova):
  • A magnitude da força elétrica entre duas cargas pontuais q_1 e q_2 separadas por uma distância r é
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde k é a constante eletrostática (no vácuo k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}).
  • A direção da força é ao longo da reta que liga as cargas: se os sinais são iguais (ambas positivas ou ambas negativas) há repulsão; se os sinais são opostos há atração.
Explicando as variáveis:
  • q_1,q_2 são as cargas (em coulombs).
  • r é a distância entre elas (em metros).
  • F é a força (em newtons).
    Na prática algébrica abaixo vamos trabalhar com sinais das cargas e com a componente ao longo do eixo x.

Passo 3

Escolho a convenção: eixo positivo para a direita ( +x). Uma carga localizada em x>0 produz sobre a carga na origem uma força cuja componente em x pode ser escrita (com sinal) por
F_i = -\,k\,\frac{q\,Q_i}{x_i^{2}},
onde
  • q é a carga na origem,
  • Q_i é a carga fixa em x_i>0,
  • o sinal negativo aparece porque, se qQ_i>0 (mesmo sinal), a força sobre q aponta para a esquerda (negativa); se qQ_i<0 (sinais opostos), aponta para a direita (positiva).
Aplicando isso às três cargas:
  • Para Q_1=+6\\ \mu\mathrm{C} em x_1=8\\ \mathrm{m}: F_1 = -k\,\dfrac{q\cdot(+6\\ \mu\mathrm{C})}{8^{2}}.
  • Para Q_2=-4\\ \mu\mathrm{C} em x_2=15\\ \mathrm{m}: F_2 = -k\,\dfrac{q\cdot(-4\\ \mu\mathrm{C})}{15^{2}}.
  • Para Q_3=Q em x_3=24\\ \mathrm{m}: F_3 = -k\,\dfrac{q\cdot Q}{24^{2}}.

Passo 4

A condição de equilíbrio (força total nula sobre a carga na origem) é
F_1+F_2+F_3=0.
Substituindo as expressões:
-\,k\,\frac{q\cdot(+6\\ \mu\mathrm{C})}{8^{2}} -\,k\,\frac{q\cdot(-4\\ \mu\mathrm{C})}{15^{2}} -\,k\,\frac{q\cdot Q}{24^{2}}=0.
Agora fatoramos -kq (note que nem k nem q são zero, então podemos dividir por eles):
-\,kq\!\left(\frac{+6\\ \mu\mathrm{C}}{8^{2}}+\frac{-4\\ \mu\mathrm{C}}{15^{2}}+\frac{Q}{24^{2}}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{+6\\ \mu\mathrm{C}}{8^{2}}+\frac{-4\\ \mu\mathrm{C}}{15^{2}}+\frac{Q}{24^{2}}=0.
Observação importante para a prova: k e q cancelam — por isso o valor de Q não depende do valor numérico de q nem do valor de k.

Passo 5

Isolando Q:
\frac{Q}{24^{2}} = -\left(\frac{6\\ \mu\mathrm{C}}{8^{2}} - \frac{4\\ \mu\mathrm{C}}{15^{2}}\right).
Logo
Q = -24^{2}\left(\frac{6}{8^{2}} - \frac{4}{15^{2}}\right)\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 6

Faço as contas passo a passo (tudo em \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2 até o final, pois a unidade \mu\mathrm{C} fica explícita):
\frac{6}{8^{2}}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}, \qquad \frac{4}{15^{2}}=\frac{4}{225}.
Então
\frac{6}{8^{2}}-\frac{4}{15^{2}}=\frac{3}{32}-\frac{4}{225}=\frac{547}{7200}.
Multiplicando por -24^{2}=-576:
Q = -576\cdot\frac{547}{7200}\\ \mu\mathrm{C}.
Simplificando:
\frac{576}{7200}=\frac{2}{25}, \qquad Q = -\frac{2}{25}\cdot 547\\ \mu\mathrm{C} = -\frac{1094}{25}\\ \mu\mathrm{C}.
Convertendo para decimal:
Q = -43{,}76\\ \mu\mathrm{C}.
Em unidades do SI (coulomb):
Q = -43{,}76\times10^{-6}\\ \mathrm{C} = -4{,}376\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação física e dica para prova:
  • O sinal negativo indica que Q deve ser negativa (carga oposta aos +6\\ \mu\mathrm{C}).
  • Procedimento útil em prova: escrever as forças com sinais algébricos ao longo do eixo, fatorar kq e resolver a equação escalar — isso evita ter que pensar caso a caso nas direções.

Resposta

-43{,}76\\ \mu\mathrm{C} = -4{,}376\times10^{-5}\\ \mathrm{C}

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