Cargas pontuals de
e
são mantidas fixas sobre o eixo
nos pontos
e
, respectivamente. Que carga ( q !) deve ser colocada no ponto
para que a força eletrostática total sobre uma carga q que está na origem do sistema de coordenadas seja nula. (2 pontos)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes cargas fixas sobre o eixo
:
- Uma carga
localizada em . - Uma carga
localizada em . - Uma carga desconhecida (vou chamar de
) a ser colocada em .
No centro do sistema, na origem
, existe uma outra carga (chamada no enunciado de
). A exigência é: escolher
de modo que a força eletrostática total exercida sobre a carga
que está na origem seja nula.
Resumo do que se pede:
- Determinar
(valor e sinal) para que a soma vetorial das forças sobre a carga na origem seja zero.
Passo 2
Relembrando a lei de Coulomb (aula rápida e prática para a prova):
- A magnitude da força elétrica entre duas cargas pontuais
e separadas por uma distância é
onde
é a constante eletrostática (no vácuo
).
- A direção da força é ao longo da reta que liga as cargas: se os sinais são iguais (ambas positivas ou ambas negativas) há repulsão; se os sinais são opostos há atração.
Explicando as variáveis:
-
são as cargas (em coulombs). -
é a distância entre elas (em metros). -
é a força (em newtons).
Na prática algébrica abaixo vamos trabalhar com sinais das cargas e com a componente ao longo do eixo.
Passo 3
Escolho a convenção: eixo positivo para a direita (
). Uma carga localizada em
produz sobre a carga na origem uma força cuja componente em
pode ser escrita (com sinal) por
onde
-
é a carga na origem, -
é a carga fixa em , - o sinal negativo aparece porque, se
(mesmo sinal), a força sobre aponta para a esquerda (negativa); se (sinais opostos), aponta para a direita (positiva).
Aplicando isso às três cargas:
- Para
em : . - Para
em : . - Para
em : .
Passo 4
A condição de equilíbrio (força total nula sobre a carga na origem) é
Substituindo as expressões:
Agora fatoramos
(note que nem
nem
são zero, então podemos dividir por eles):
Observação importante para a prova:
e
cancelam — por isso o valor de
não depende do valor numérico de
nem do valor de
.
Passo 5
Isolando
:
Logo
Passo 6
Faço as contas passo a passo (tudo em
até o final, pois a unidade
fica explícita):
Então
Multiplicando por
:
Simplificando:
Convertendo para decimal:
Em unidades do SI (coulomb):
Passo 7
Interpretação física e dica para prova:
- O sinal negativo indica que
deve ser negativa (carga oposta aos ). - Procedimento útil em prova: escrever as forças com sinais algébricos ao longo do eixo, fatorar
e resolver a equação escalar — isso evita ter que pensar caso a caso nas direções.