- Considere uma emulsão com teor variável de fase dispersa ( 0 a
) sujeita a temperatura variável ( 20 a
. Um técnico industrial deseja ajustar a temperatura do processo de modo a operar sempre na mesma viscosidade, independente da composição da emulsão. Para tanto dispõe de um viscosímetro, termopares e de um analisador de teor de fase dispersa.
b) Para auxiliar o técnico industrial, proponha um modelo matemático relacionando viscosidade e as demais variáveis medidas. Indique também que experimentos poderiam ser feitos para obtenção de um banco de dados para o modelo.
b) Para auxiliar o técnico industrial, proponha um modelo matemático relacionando viscosidade e as demais variáveis medidas. Indique também que experimentos poderiam ser feitos para obtenção de um banco de dados para o modelo.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema sobre como relacionar a viscosidade de uma emulsão com duas variáveis: a temperatura e o teor de fase dispersa. A matéria envolve conceitos de viscosidade, influência da temperatura e concentração na viscosidade, e modelagem matemática para relacionar essas variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como a viscosidade muda com a temperatura e com a concentração da fase dispersa.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na relação entre a viscosidade e a temperatura. Geralmente, a viscosidade de líquidos diminui quando a temperatura aumenta. Isso pode ser descrito pela equação de Arrhenius modificada:
onde
é a viscosidade,
e
são constantes, e
é a temperatura em Kelvin. Essa equação nos ajuda a modelar como a temperatura afeta a viscosidade.
Passo 3
Agora, vamos considerar o efeito do teor de fase dispersa na viscosidade. Em emulsões, a presença de partículas dispersas tende a aumentar a viscosidade conforme a concentração aumenta. Isso pode ser modelado de forma linear ou usando uma relação mais complexa, dependendo de como a viscosidade realmente se comporta com a concentração. Para simplificar, vamos assumir uma relação linear:
onde
é a viscosidade da fase contínua pura,
é uma constante que representa o aumento da viscosidade por unidade de concentração, e
é o teor de fase dispersa.
Passo 4
Agora, para combinar essas duas relações e ter um modelo que relaciona viscosidade à temperatura e ao teor de fase dispersa, vamos multiplicar as duas expressões:
Isso nos dá um modelo onde a viscosidade depende tanto da temperatura quanto da concentração da fase dispersa.
Passo 5
Para ajustar esse modelo e encontrar os valores das constantes
,
e
, o técnico precisa de um conjunto de dados experimentais. Para isso, ele pode realizar os seguintes experimentos:
-
Variação de Temperatura: Manter o teor de fase dispersa constante e medir a viscosidade em diferentes temperaturas dentro da faixa de 20°C a 90°C.
-
Variação da Concentração: Manter a temperatura constante e variar o teor de fase dispersa de 0% a 2%, medindo a viscosidade para cada concentração.
-
Variação Conjunta: Para uma análise mais completa, variar simultaneamente a temperatura e a concentração em diferentes combinações e medir a viscosidade correspondente.
Esses experimentos vão gerar um banco de dados que o técnico pode usar para ajustar o modelo matemático proposto e determinar as constantes necessárias.
Resposta
Assim, o modelo matemático que relaciona a viscosidade
com a temperatura
e o teor de fase dispersa
é:
Para ajustar esse modelo, o técnico deve realizar experimentos variando isoladamente e conjuntamente a temperatura e o teor de fase dispersa, medindo a viscosidade em cada condição para coletar os dados necessários.