1. Um jovem pesquisador determinou em laboratório medidas de tensão cisalhante ( tau, lbf / ft^2 ) vs taxa de deformação ( d v / d y, s^-1 ) para 3 fluidos distintos ( A, B, C ). Os dados foram tabelados abaixo:
d v / d y(s^-1) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
tauA(lbf / ft^2) 0 0,7 1,9 3,3 5,0 6,8 8,8 10,9 13,2 15,5 18
tauB(lbf / ft^2) 0 4,3 7,2 9,7 12,1 14,3 16,4 18,4 20,3 22,2 24
tauC(lbf / ft^2) 0 2,6 5,2 7,8 10,4 13 15,6 18,2 20,8 23,4 26
a) Classifique os 3 fluidos quanto ao comportamento reológico (newtoniano, dilatante, pseudoplástico). A partir do modelo de Ostwald-de Waele, estime os índices de comportamento e de consistência para os 3 fluidos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar três fluidos diferentes de acordo com o comportamento reológico deles, ou seja, como eles fluem sob diferentes taxas de deformação. Além disso, vamos usar o modelo de Ostwald-de Waele para estimar os índices de comportamento (n) e de consistência (K) para cada fluido. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre reologia, análise de dados e o próprio modelo de Ostwald-de Waele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os diferentes comportamentos reológicos:
  • Fluido Newtoniano: A viscosidade permanece constante, independente da taxa de deformação. Exemplo: água.
  • Fluido Pseudoplástico (Shear-Thinning): A viscosidade diminui conforme aumenta a taxa de deformação. Exemplo: ketchup.
  • Fluido Dilatante (Shear-Thickening): A viscosidade aumenta conforme aumenta a taxa de deformação. Exemplo: amido de milho em água.
Nosso objetivo é ver qual dessas categorias cada fluido (A, B, C) se encaixa, olhando para os dados de tensão cisalhante (τ) em função da taxa de deformação (dv/dy).

Passo 3

Vamos analisar os dados fornecidos para cada fluido. Observando os valores de τ à medida que dv/dy aumenta:
  • Fluido A: À medida que dv/dy aumenta, τ também aumenta, mas de forma mais gradual.
  • Fluido B: O aumento de τ é mais acentuado com o aumento de dv/dy.
  • Fluido C: O aumento de τ é intermediário entre A e B.
Com base nisso:
  • Se τ aumenta de forma proporcional a dv/dy, o fluido é Newtoniano.
  • Se τ aumenta menos que proporcionalmente, é Pseudoplástico.
  • Se aumenta mais que proporcionalmente, é Dilatante.

Passo 4

Vamos classificar cada fluido:
  • Fluido A: O aumento de τ não é tão acentuado quanto a taxa de deformação, indicando um comportamento Pseudoplástico.
  • Fluido B: O aumento de τ é mais acentuado, sugerindo um comportamento Dilatante.
  • Fluido C: O aumento de τ está em um meio-termo, mas tende a ser mais próximo de Pseudoplástico.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o modelo de Ostwald-de Waele, que é dado por:
tau = K ( dvdy )^n
Onde:
  • $ \tau $ é a tensão cisalhante,
  • $ \frac{dv}{dy} $ é a taxa de deformação,
  • $ K $ é o índice de consistência,
  • $ n $ é o índice de comportamento.
Para encontrar $ K $ e $ n $, podemos linearizar a equação fazendo logaritmos dos dois lados:
tau
Isso nos permite usar regressão linear para determinar $ n $ (a inclinação) e $ \log(K) $ (o intercepto).

Passo 6

Vamos calcular $ n $ e $ K $ para cada fluido. Para simplificar, vamos selecionar alguns pontos dos dados e calcular usando uma abordagem simplificada:
Para o Fluido A:
  • Escolha dois pontos, por exemplo, $ (0.1, 0.7) $ e $ (1, 18) $.
  • Aplicamos a fórmula $ n = \frac{\log(\tau_2) - \log(\tau_1)}{\log(dv/dy)_2 - \log(dv/dy)_1} $.
  • Depois, calculamos $ K $ usando $ K = \frac{\tau}{(dv/dy)^n} $.
Repetimos o mesmo processo para os fluidos B e C.

Passo 7

Cálculos para o Fluido A:
  • $ \log(\tau_1) = \log(0.7) \approx -0.155 $
  • $ \log(\tau_2) = \log(18) \approx 1.255 $
  • $ \log(0.1) = -1 $, $ \log(1) = 0 $
  • $ n = \frac{1.255 - (-0.155)}{0 - (-1)} = 1.255 + 0.155 = 1.41 $
  • $ K = \tau / (dv/dy)^n = 0.7 / (0.1)^{1.41} \approx 0.7 / 0.038 = 18.42 $
Cálculos para o Fluido B:
  • $ \log(\tau_1) = \log(4.3) \approx 0.633 $
  • $ \log(\tau_2) = \log(24) \approx 1.380 $
  • $ \log(0.1) = -1 $, $ \log(1) = 0 $
  • $ n = \frac{1.380 - 0.633}{0 - (-1)} = 1.380 - 0.633 = 0.747 $
  • $ K = 4.3 / (0.1)^{0.747} \approx 4.3 / 0.0178 = 241.57 $
Cálculos para o Fluido C:
  • $ \log(\tau_1) = \log(2.6) \approx 0.415 $
  • $ \log(\tau_2) = \log(26) \approx 1.415 $
  • $ \log(0.1) = -1 $, $ \log(1) = 0 $
  • $ n = \frac{1.415 - 0.415}{0 - (-1)} = 1.415 - 0.415 = 1.0 $
  • $ K = 2.6 / (0.1)^{1.0} = 2.6 / 0.1 = 26 $

Passo 8

Agora, vamos interpretar os índices obtidos:
  • Fluido A: $ n = 1.41 $ > 1 → Dilatante
  • Fluido B: $ n = 0.747 $ < 1 → Pseudoplástico
  • Fluido C: $ n = 1.0 $ = 1 → Newtoniano
Ops! Parece que houve uma inconsistência na classificação anterior. Vamos corrigir:
Reavaliando os índices:
  • n > 1: Dilatante
  • n = 1: Newtoniano
  • n < 1: Pseudoplástico
Com base nos cálculos:
  • Fluido A: $ n = 1.41 $ → Dilatante
  • Fluido B: $ n = 0.747 $ → Pseudoplástico
  • Fluido C: $ n = 1.0 $ → Newtoniano

Resposta

Após analisar os dados e aplicar o modelo de Ostwald-de Waele, classificamos os fluidos da seguinte forma:
  • Fluido A: Dilatante, com índice de consistência $ K \approx 18.42 $ e índice de comportamento $ n \approx 1.41 $.
  • Fluido B: Pseudoplástico, com índice de consistência $ K \approx 241.57 $ e índice de comportamento $ n \approx 0.747 $.
  • Fluido C: Newtoniano, com índice de consistência $ K = 26 $ e índice de comportamento $ n = 1.0 $.

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