- Um jovem pesquisador determinou em laboratório medidas de tensão cisalhante (
) vs taxa de deformação (
) para 3 fluidos distintos (
). Os dados foram tabelados abaixo:
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0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1 |
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0 | 0,7 | 1,9 | 3,3 | 5,0 | 6,8 | 8,8 | 10,9 | 13,2 | 15,5 | 18 |
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0 | 4,3 | 7,2 | 9,7 | 12,1 | 14,3 | 16,4 | 18,4 | 20,3 | 22,2 | 24 |
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0 | 2,6 | 5,2 | 7,8 | 10,4 | 13 | 15,6 | 18,2 | 20,8 | 23,4 | 26 |
a) Classifique os 3 fluidos quanto ao comportamento reológico (newtoniano, dilatante, pseudoplástico). A partir do modelo de Ostwald-de Waele, estime os índices de comportamento e de consistência para os 3 fluidos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar três fluidos diferentes de acordo com o comportamento reológico deles, ou seja, como eles fluem sob diferentes taxas de deformação. Além disso, vamos usar o modelo de Ostwald-de Waele para estimar os índices de comportamento (n) e de consistência (K) para cada fluido. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre reologia, análise de dados e o próprio modelo de Ostwald-de Waele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os diferentes comportamentos reológicos:
- Fluido Newtoniano: A viscosidade permanece constante, independente da taxa de deformação. Exemplo: água.
- Fluido Pseudoplástico (Shear-Thinning): A viscosidade diminui conforme aumenta a taxa de deformação. Exemplo: ketchup.
- Fluido Dilatante (Shear-Thickening): A viscosidade aumenta conforme aumenta a taxa de deformação. Exemplo: amido de milho em água.
Nosso objetivo é ver qual dessas categorias cada fluido (A, B, C) se encaixa, olhando para os dados de tensão cisalhante (τ) em função da taxa de deformação (dv/dy).
Passo 3
Vamos analisar os dados fornecidos para cada fluido. Observando os valores de τ à medida que dv/dy aumenta:
- Fluido A: À medida que dv/dy aumenta, τ também aumenta, mas de forma mais gradual.
- Fluido B: O aumento de τ é mais acentuado com o aumento de dv/dy.
- Fluido C: O aumento de τ é intermediário entre A e B.
Com base nisso:
- Se τ aumenta de forma proporcional a dv/dy, o fluido é Newtoniano.
- Se τ aumenta menos que proporcionalmente, é Pseudoplástico.
- Se aumenta mais que proporcionalmente, é Dilatante.
Passo 4
Vamos classificar cada fluido:
- Fluido A: O aumento de τ não é tão acentuado quanto a taxa de deformação, indicando um comportamento Pseudoplástico.
- Fluido B: O aumento de τ é mais acentuado, sugerindo um comportamento Dilatante.
- Fluido C: O aumento de τ está em um meio-termo, mas tende a ser mais próximo de Pseudoplástico.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o modelo de Ostwald-de Waele, que é dado por:
Onde:
- $ \tau $ é a tensão cisalhante,
- $ \frac{dv}{dy} $ é a taxa de deformação,
- $ K $ é o índice de consistência,
- $ n $ é o índice de comportamento.
Para encontrar $ K $ e $ n $, podemos linearizar a equação fazendo logaritmos dos dois lados:
Isso nos permite usar regressão linear para determinar $ n $ (a inclinação) e $ \log(K) $ (o intercepto).
Passo 6
Vamos calcular $ n $ e $ K $ para cada fluido. Para simplificar, vamos selecionar alguns pontos dos dados e calcular usando uma abordagem simplificada:
Para o Fluido A:
- Escolha dois pontos, por exemplo, $ (0.1, 0.7) $ e $ (1, 18) $.
- Aplicamos a fórmula $ n = \frac{\log(\tau_2) - \log(\tau_1)}{\log(dv/dy)_2 - \log(dv/dy)_1} $.
- Depois, calculamos $ K $ usando $ K = \frac{\tau}{(dv/dy)^n} $.
Repetimos o mesmo processo para os fluidos B e C.
Passo 7
Cálculos para o Fluido A:
- $ \log(\tau_1) = \log(0.7) \approx -0.155 $
- $ \log(\tau_2) = \log(18) \approx 1.255 $
- $ \log(0.1) = -1 $, $ \log(1) = 0 $
- $ n = \frac{1.255 - (-0.155)}{0 - (-1)} = 1.255 + 0.155 = 1.41 $
- $ K = \tau / (dv/dy)^n = 0.7 / (0.1)^{1.41} \approx 0.7 / 0.038 = 18.42 $
Cálculos para o Fluido B:
- $ \log(\tau_1) = \log(4.3) \approx 0.633 $
- $ \log(\tau_2) = \log(24) \approx 1.380 $
- $ \log(0.1) = -1 $, $ \log(1) = 0 $
- $ n = \frac{1.380 - 0.633}{0 - (-1)} = 1.380 - 0.633 = 0.747 $
- $ K = 4.3 / (0.1)^{0.747} \approx 4.3 / 0.0178 = 241.57 $
Cálculos para o Fluido C:
- $ \log(\tau_1) = \log(2.6) \approx 0.415 $
- $ \log(\tau_2) = \log(26) \approx 1.415 $
- $ \log(0.1) = -1 $, $ \log(1) = 0 $
- $ n = \frac{1.415 - 0.415}{0 - (-1)} = 1.415 - 0.415 = 1.0 $
- $ K = 2.6 / (0.1)^{1.0} = 2.6 / 0.1 = 26 $
Passo 8
Agora, vamos interpretar os índices obtidos:
- Fluido A: $ n = 1.41 $ > 1 → Dilatante
- Fluido B: $ n = 0.747 $ < 1 → Pseudoplástico
- Fluido C: $ n = 1.0 $ = 1 → Newtoniano
Ops! Parece que houve uma inconsistência na classificação anterior. Vamos corrigir:
Reavaliando os índices:
- n > 1: Dilatante
- n = 1: Newtoniano
- n < 1: Pseudoplástico
Com base nos cálculos:
- Fluido A: $ n = 1.41 $ → Dilatante
- Fluido B: $ n = 0.747 $ → Pseudoplástico
- Fluido C: $ n = 1.0 $ → Newtoniano
Resposta
Após analisar os dados e aplicar o modelo de Ostwald-de Waele, classificamos os fluidos da seguinte forma:
- Fluido A: Dilatante, com índice de consistência $ K \approx 18.42 $ e índice de comportamento $ n \approx 1.41 $.
- Fluido B: Pseudoplástico, com índice de consistência $ K \approx 241.57 $ e índice de comportamento $ n \approx 0.747 $.
- Fluido C: Newtoniano, com índice de consistência $ K = 26 $ e índice de comportamento $ n = 1.0 $.