Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de S e tem área A. O volume deste corpo é chamado de V e tem volume V.
Mostre que para qualquer corpo submerso, que a resultante das forças de pressão aponta no sentido positivo de z e tem o módulo dado pelo peso de fluido deslocado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo com uma forma qualquer que está submerso em um fluido. A superfície externa desse corpo é chamada de S e tem uma área A. O volume do corpo é V. Nosso objetivo aqui é mostrar que a força resultante das pressões que atuam sobre o corpo aponta na direção positiva de z (geralmente, para cima) e que o módulo dessa força é igual ao peso do fluido que o corpo desloca. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática dos fluidos, especialmente relacionados à pressão e ao princípio de Arquimedes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão em um fluido em equilíbrio depende da profundidade. A pressão p em qualquer ponto da superfície S pode ser expressa pela fórmula:
p = p0 + rho g z
Aqui, p0 é a pressão atmosférica na superfície do fluido, rho é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e z é a profundidade naquele ponto.

Passo 3

Agora, para encontrar a força total exercida pelas pressões na superfície do corpo, precisamos integrar a pressão sobre toda a área A da superfície S. A força diferencial dF em cada área diferencial dA é dada por:
dF = p , dA , n
onde n é o vetor normal à superfície apontando para fora do corpo.

Passo 4

A força resultante F é a integral de todas essas forças diferenciais sobre a superfície:
F = integralS p , n , dA
Substituindo a expressão da pressão:
F = integralS (p0 + rho g z) , n , dA

Passo 5

A primeira parte da integral envolve a pressão atmosférica p0:
p0 integralS n , dA
Como o corpo está completamente submerso e não tem aberturas, as integrais dos vetores normais se cancelam (soma vetorial nula). Então, essa parte da força total é zero.

Passo 6

Ficamos então com:
F = rho g integralS z , n , dA
Para simplificar essa integral, usamos o teorema de Gauss (ou divergência), que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Aplicando o teorema, obtemos:
F = rho g integralV nabla z , dV
Sabendo que nabla z é o vetor unitário na direção positiva de z, temos:
F = rho g , k integralV dV
Onde k é o vetor unitário na direção positiva de z.

Passo 7

A integral do volume V é simplesmente o volume do corpo. Assim:
F = rho g , k , V
Isso significa que a força resultante aponta na direção positiva de z e seu módulo é:
|F| = rho g V

Resposta

A força resultante das pressões sobre o corpo submerso aponta na direção positiva de z e tem módulo igual a rho g V, ou seja,
|F| = rho g V

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