Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de
e tem área
. O volume deste corpo é chamado de
e tem volume
.
Mostre que para qualquer corpo submerso, que a resultante das forças de pressão aponta no sentido positivo de
e tem o módulo dado pelo peso de fluido deslocado.
Mostre que para qualquer corpo submerso, que a resultante das forças de pressão aponta no sentido positivo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo com uma forma qualquer que está submerso em um fluido. A superfície externa desse corpo é chamada de
e tem uma área
. O volume do corpo é
. Nosso objetivo aqui é mostrar que a força resultante das pressões que atuam sobre o corpo aponta na direção positiva de
(geralmente, para cima) e que o módulo dessa força é igual ao peso do fluido que o corpo desloca. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática dos fluidos, especialmente relacionados à pressão e ao princípio de Arquimedes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão em um fluido em equilíbrio depende da profundidade. A pressão
em qualquer ponto da superfície
pode ser expressa pela fórmula:
Aqui,
é a pressão atmosférica na superfície do fluido,
é a densidade do fluido,
é a aceleração da gravidade e
é a profundidade naquele ponto.
Passo 3
Agora, para encontrar a força total exercida pelas pressões na superfície do corpo, precisamos integrar a pressão sobre toda a área
da superfície
. A força diferencial
em cada área diferencial
é dada por:
onde
é o vetor normal à superfície apontando para fora do corpo.
Passo 4
A força resultante
é a integral de todas essas forças diferenciais sobre a superfície:
Substituindo a expressão da pressão:
Passo 5
A primeira parte da integral envolve a pressão atmosférica
:
Como o corpo está completamente submerso e não tem aberturas, as integrais dos vetores normais se cancelam (soma vetorial nula). Então, essa parte da força total é zero.
Passo 6
Ficamos então com:
Para simplificar essa integral, usamos o teorema de Gauss (ou divergência), que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Aplicando o teorema, obtemos:
Sabendo que
é o vetor unitário na direção positiva de
, temos:
Onde
é o vetor unitário na direção positiva de
.
Passo 7
A integral do volume
é simplesmente o volume do corpo. Assim:
Isso significa que a força resultante aponta na direção positiva de
e seu módulo é:
Resposta
A força resultante das pressões sobre o corpo submerso aponta na direção positiva de
e tem módulo igual a
, ou seja,