a) (1,75 pontos) Encontre o intervalo dentro do qual todas as raízes reais de f(x) estão.
b) ( 0,75 pontos) Quantas raízes reais positivas existem? E quantas negativas? Justifique sua resposta.
c) ( 2,0 pontos) O intervalo [-2,-1] possui uma única raiz. Calcule uma estimativa para cada iteração do método de Newton-Raphson (realize pelo menos 3 iterações).
Passo 1
O enunciado dá a equação \,f(x)=0, com
f(x)=12x^{3}+7x^{2}-15x+3,
e as derivadas
f'(x)=36x^{2}+14x-15,\qquad f''(x)=72x+14.
O que pedem:
(a) um intervalo que contenha todas as raízes reais de f;
(b) quantas raízes positivas e negativas existem;
(c) usar Newton–Raphson em [-2,-1] para aproximar a raiz aí existente (3 iterações).
Passo 2
Para encontrar um intervalo que contenha todas as raízes usamos o limite de Cauchy: se
Portanto todas as raízes reais estão no intervalo [-2,25,\,2,25].
Passo 3
Para contar as raízes reais positivas e negativas usamos Descartes:
– Em f(x) os sinais dos termos são +,+,-,+, havendo 2 mudanças de sinal, logo até 2 raízes positivas (pode ser 2 ou 0).
– Em f(-x)= -12x^{3}+7x^{2}+15x+3 há exatamente 1 mudança de sinal, logo há 1 raiz negativa.
Como f é cúbica, tem um número ímpar de raízes reais (1 ou 3). Já sabemos que há 1 negativa e, se não houver duas positivas, restaria só 1 real no total — mas avaliando f nos pontos críticos mostra-se que f muda de sinal 3 vezes, o que garante 2 raízes positivas e 1 raiz negativa.
Passo 4
Para (c) aplicamos Newton–Raphson em [-2,-1], onde sabemos que existe a única raiz negativa. A iteração é
(a) Todas as raízes reais estão em [-2,25,\,2,25].
(b) Existem 2 raízes reais positivas e 1 negativa.
(c) As aproximações pelo método de Newton–Raphson em [-2,-1] (com x_{0}=-1,5) são: