Considere a equação f(x)=0, com
f(x)=12 x^{3}+7 x^{2}-15 x+3
e suas derivadas:
f^{\prime}(x)=36 x^{2}+14 x-15, \quad f^{\prime \prime}(x)=72 x+14
a) (1,75 pontos) Encontre o intervalo dentro do qual todas as raízes reais de f(x) estão.
b) ( 0,75 pontos) Quantas raízes reais positivas existem? E quantas negativas? Justifique sua resposta.
c) ( 2,0 pontos) O intervalo [-2,-1] possui uma única raiz. Calcule uma estimativa para cada iteração do método de Newton-Raphson (realize pelo menos 3 iterações).

Passo 1

O enunciado dá a equação \,f(x)=0, com
f(x)=12x^{3}+7x^{2}-15x+3,
e as derivadas
f'(x)=36x^{2}+14x-15,\qquad f''(x)=72x+14.
O que pedem:
  1. (a) um intervalo que contenha todas as raízes reais de f;
  2. (b) quantas raízes positivas e negativas existem;
  3. (c) usar Newton–Raphson em [-2,-1] para aproximar a raiz aí existente (3 iterações).

Passo 2

Para encontrar um intervalo que contenha todas as raízes usamos o limite de Cauchy: se
f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0},
então todo zero real \alpha satisfaz
|\alpha|\le 1 + \max_{0\le k\le n-1}\Bigl|\frac{a_{k}}{a_{n}}\Bigr|.
Aqui a_{n}=12 e os demais coeficientes são 7,-15,3. Calculamos
\max\Bigl\{\bigl|\tfrac{7}{12}\bigr|,\bigl|\tfrac{-15}{12}\bigr|,\bigl|\tfrac{3}{12}\bigr|\Bigr\} =\max\{0,5833,\;1,25,\;0,25\}=1,25,
logo
|\alpha|\le 1 + 1,25 = 2,25.
Portanto todas as raízes reais estão no intervalo [-2,25,\,2,25].

Passo 3

Para contar as raízes reais positivas e negativas usamos Descartes:
– Em f(x) os sinais dos termos são +,+,-,+, havendo 2 mudanças de sinal, logo até 2 raízes positivas (pode ser 2 ou 0).
– Em f(-x)= -12x^{3}+7x^{2}+15x+3 há exatamente 1 mudança de sinal, logo há 1 raiz negativa.
Como f é cúbica, tem um número ímpar de raízes reais (1 ou 3). Já sabemos que há 1 negativa e, se não houver duas positivas, restaria só 1 real no total — mas avaliando f nos pontos críticos mostra-se que f muda de sinal 3 vezes, o que garante 2 raízes positivas e 1 raiz negativa.

Passo 4

Para (c) aplicamos Newton–Raphson em [-2,-1], onde sabemos que existe a única raiz negativa. A iteração é
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Escolhemos x_{0}=-1,5 como chute inicial.

Passo 5

Cálculo das três iterações:
  1. x_{0}=-1,5 f(x_{0})=12(-1,5)^{3}+7(-1,5)^{2}-15(-1,5)+3=0,75 f'(x_{0})=36(-1,5)^{2}+14(-1,5)-15=45
x_{1} = -1,5 - \frac{0,75}{45} = -1,51667.
  1. x_{1}=-1,51667 f(x_{1})\approx -0,0597,\quad f'(x_{1})\approx 46,61
x_{2} = -1,51667 - \frac{-0,0597}{46,61} \approx -1,51539.
  1. x_{2}=-1,51539 f(x_{2})\approx -0,0185,\quad f'(x_{2})\approx 46,45
x_{3} = -1,51539 - \frac{-0,0185}{46,45} \approx -1,51499.

Resposta

(a) Todas as raízes reais estão em [-2,25,\,2,25].
(b) Existem 2 raízes reais positivas e 1 negativa.
(c) As aproximações pelo método de Newton–Raphson em [-2,-1] (com x_{0}=-1,5) são:
x_{1}\approx -1,51667,\quad x_{2}\approx -1,51539,\quad x_{3}\approx -1,51499.

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