Questão 1:
a) Explique com suas palavras: de onde vem as fórmulas da regra dos trapézios, primeira regra dos Simpson e segunda regra do Simpson?
b) Como se verificar que em um dado intervalo
existe uma, e somente uma, raiz da função
?
b) Como se verificar que em um dado intervalo
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) pede para explicar de onde vêm as fórmulas da regra dos trapézios, da primeira regra de Simpson (1/3) e da segunda regra de Simpson (3/8). Na parte (b) quer saber como garantir que numa dada intervalo
existe exatamente uma raiz de
. Para resolver (a) vamos usar interpolação polinomial e integrar esse polinômio; para (b) usamos o Teorema de Bolzano e critério de monotonicidade.
Passo 2
Para a regra dos trapézios aproximamos
por um polinômio de grau 1, o segmento que liga
a
. Esse polinômio de Lagrange é
Integrando
de
a
dá
Esse é o valor aproximado da integral de
e dá a fórmula da regra dos trapézios.
Passo 3
Para a primeira regra de Simpson (1/3) aproximamos
por um polinômio de grau 2 que passe por
,
e
, onde
. O polinômio de Lagrange é
Integrando de
a
obtemos
que é a fórmula de Simpson 1/3.
Passo 4
Para a segunda regra de Simpson (3/8) usamos quatro pontos igualmente espaçados em
:
,
,
,
com
. Aí construímos o polinômio de grau 3 de Lagrange e integramos. O resultado é
Essa é a chamada regra de Simpson 3/8.
Passo 5
Para (b), existência de pelo menos uma raiz: se
é contínua em
e
, então pelo Teorema de Bolzano existe
tal que
.
Passo 6
Para unicidade da raiz, basta mostrar que
é estritamente monotônica em
. Se
para todo
(ou
em todo o intervalo), então
é estritamente crescente (ou decrescente) e não pode ter duas raízes. Portanto há exatamente uma raiz em
.
Resposta
(a) As fórmulas vêm de aproximar
por polinômios de Lagrange de grau 1 (trapézios), grau 2 (Simpson 1/3) e grau 3 (Simpson 3/8) e integrar esses polinômios exatamente em
.
(b) Usa-se primeiro o Teorema de Bolzano (continuidade e ) para garantir existência de pelo menos uma raiz, e depois mostra-se que
mantém sinal (estrita monotonicidade) para assegurar que essa raiz é única.
(b) Usa-se primeiro o Teorema de Bolzano (continuidade e