Questão 1:

a) Explique com suas palavras: de onde vem as fórmulas da regra dos trapézios, primeira regra dos Simpson e segunda regra do Simpson?
b) Como se verificar que em um dado intervalo [a, b] existe uma, e somente uma, raiz da função f(x) ?

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) pede para explicar de onde vêm as fórmulas da regra dos trapézios, da primeira regra de Simpson (1/3) e da segunda regra de Simpson (3/8). Na parte (b) quer saber como garantir que numa dada intervalo [a,b] existe exatamente uma raiz de f(x). Para resolver (a) vamos usar interpolação polinomial e integrar esse polinômio; para (b) usamos o Teorema de Bolzano e critério de monotonicidade.

Passo 2

Para a regra dos trapézios aproximamos f(x) por um polinômio de grau 1, o segmento que liga (a,f(a)) a (b,f(b)). Esse polinômio de Lagrange é
p_1(x)=f(a)\,\frac{x-b}{a-b}+f(b)\,\frac{x-a}{b-a}.
Integrando p_1(x) de a a b
\int_a^b p_1(x)\,dx = \frac{b-a}{2}\bigl[f(a)+f(b)\bigr].
Esse é o valor aproximado da integral de f e dá a fórmula da regra dos trapézios.

Passo 3

Para a primeira regra de Simpson (1/3) aproximamos f(x) por um polinômio de grau 2 que passe por \bigl(a,f(a)\bigr), \bigl(m,f(m)\bigr) e \bigl(b,f(b)\bigr), onde m=(a+b)/2. O polinômio de Lagrange é
p_2(x)=f(a)\,\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)} + f(m)\,\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)} + f(b)\,\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}.
Integrando de a a b obtemos
\int_a^b p_2(x)\,dx = \frac{b-a}{6}\bigl[f(a)+4f(m)+f(b)\bigr],
que é a fórmula de Simpson 1/3.

Passo 4

Para a segunda regra de Simpson (3/8) usamos quatro pontos igualmente espaçados em [a,b]: x_0=a, x_1=a+h, x_2=a+2h, x_3=b com h=(b-a)/3. Aí construímos o polinômio de grau 3 de Lagrange e integramos. O resultado é
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr].
Essa é a chamada regra de Simpson 3/8.

Passo 5

Para (b), existência de pelo menos uma raiz: se f é contínua em [a,b] e f(a)\,f(b)<0, então pelo Teorema de Bolzano existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.

Passo 6

Para unicidade da raiz, basta mostrar que f é estritamente monotônica em [a,b]. Se f'(x)>0 para todo x\in[a,b] (ou f'(x)<0 em todo o intervalo), então f é estritamente crescente (ou decrescente) e não pode ter duas raízes. Portanto há exatamente uma raiz em [a,b].

Resposta

(a) As fórmulas vêm de aproximar f(x) por polinômios de Lagrange de grau 1 (trapézios), grau 2 (Simpson 1/3) e grau 3 (Simpson 3/8) e integrar esses polinômios exatamente em [a,b].
(b) Usa-se primeiro o Teorema de Bolzano (continuidade e f(a)f(b)<0) para garantir existência de pelo menos uma raiz, e depois mostra-se que f' mantém sinal (estrita monotonicidade) para assegurar que essa raiz é única.

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