Considere a equação 
 .
Determine as coordenadas do centro, focos e vérlices.
Determine as coordenadas do centro, focos e vérlices.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação quadrática:
O objetivo é encontrar as coordenadas do centro, dos focos e dos vértices dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas, já que essa equação representa uma hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão da hipérbole. Para isso, precisamos completar o quadrado nos termos de 
  e 
 .
Reorganizando os termos:
Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 
  e 
 .
Para o termo 
 :
O termo que completa o quadrado é 
 .
Então:
Para o termo 
 :
O termo que completa o quadrado é 
 .
Então:
Passo 4
Agora, vamos ajustar a equação adicionando e subtraindo os termos que completam o quadrado, lembrando de manter o equilíbrio da equação.
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos agora isolar os termos completos do quadrado na equação:
Simplificando os termos constantes:
Agora, vamos passar o termo constante para o lado direito da equação:
Passo 6
Para chegar à forma padrão da hipérbole, vamos dividir toda a equação por 400:
Simplificando as frações:
Passo 7
Agora, com a equação na forma padrão da hipérbole:
Podemos identificar os parâmetros:
- 
 - 
 - 
⇒  - 
⇒  
Passo 8
O centro da hipérbole é dado por 
 :
Passo 9
Para encontrar os vértices, usamos a fórmula 
 :
Então:
Passo 10
Para encontrar os focos, precisamos calcular 
 , onde 
 :
Então, os focos estão em:
Portanto:
Resposta
- Centro: 
 - Vértices: 
e  - Focos: 
e