(2,0) Considere a equação da curva x^{2}+x y+y^{2}=3.
(a) Use a derivação implícita para achar y^{\prime}=\frac{d y}{d x}.
(b) Encontre os pontos onde a reta tangente à curva é horizontal \left(y^{\prime}(x)=0\right).
Solução. (a) Pela derivação implícita, 2 x+y+x y^{\prime}+2 y y^{\prime}=0. Logo,
y^{\prime}=-\frac{2 x+y}{x+2 y}
(b) Se y^{\prime}=0, então y=-2 x e y \neq-x / 2. Substituindo y=-2 x na equação da curva temos
x^{2}+x(-2 x)+(-2 x)^{2}=3
de onde concluímos que x= \pm 1. Se
\begin{array}{ll} x=1 & \Rightarrow y=-2 x=-2 \\\ x=-1 & \Rightarrow y=-2 x=2 \end{array}
Portanto, os pontos são: (1,-2) e (-1,2). Note que estes pontos verificam a condição y \neq-x / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida por
x^{2} + x\,y + y^{2} = 3
e pede (a) a derivada y'=\frac{dy}{dx} via derivação implícita e (b) os pontos onde a reta tangente é horizontal, ou seja, onde y'=0.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
x^{2} + x\,y + y^{2} = 3
em relação a x. Temos:
\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x
\frac{d}{dx}(x\,y) = x\,y' + y (regra do produto)
\frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y\,y' (regra da cadeia)
\frac{d}{dx}(3) = 0.
Somando tudo dá
2x + \bigl(x\,y' + y\bigr) + 2y\,y' = 0.

Passo 3

Agrupamos os termos que contêm y' e isolamos:
2x + y + x\,y' + 2y\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x + 2y)\,y' + (2x + y) = 0
\Longrightarrow\quad y'(x + 2y) = -\,(2x + y) \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{2x + y}{\,x + 2y\,}.

Passo 4

Para a reta tangente ser horizontal, precisamos de y'=0. Na expressão
y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}
isso ocorre quando o numerador se anula (e o denominador não):
2x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -2x,
com a condição x + 2y \neq 0 (que se torna x -4x \neq 0, isto é, x\neq 0).

Passo 5

Substituímos y = -2x na equação da curva para achar x:
x^{2} + x(-2x) + (-2x)^{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - 2x^{2} + 4x^{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad 3x^{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 1
Logo x = \pm 1. Correspondem os pontos
x = 1 \;\Rightarrow\; y = -2(1) = -2, \qquad x = -1 \;\Rightarrow\; y = -2(-1) = 2.

Resposta

Os pontos onde a reta tangente é horizontal são (1,-2) e (-1,2).

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