Considere a equação da curva
.
(a) Use a derivação implícita para achar
.
(b) Encontre os pontos onde a reta tangente à curva é horizontal
.
Solução. (a) Pela derivação implícita,
. Logo,
(b) Se
, então
e
. Substituindo
na equação da curva temos
de onde concluímos que
. Se
Portanto, os pontos são:
e
. Note que estes pontos verificam a condição
.
(a) Use a derivação implícita para achar
(b) Encontre os pontos onde a reta tangente à curva é horizontal
Passo 1
O enunciado nos dá a curva definida por
e pede (a) a derivada
via derivação implícita e (b) os pontos onde a reta tangente é horizontal, ou seja, onde
.
Passo 2
Derivamos ambos os lados de
em relação a
. Temos:
–
– (regra do produto)
– (regra da cadeia)
– .
Somando tudo dá
–
–
–
–
Somando tudo dá
Passo 3
Agrupamos os termos que contêm
e isolamos:
Passo 4
Para a reta tangente ser horizontal, precisamos de
. Na expressão
isso ocorre quando o numerador se anula (e o denominador não):
com a condição
(que se torna
, isto é,
).
Passo 5
Substituímos
na equação da curva para achar
:
Logo
. Correspondem os pontos
Resposta
Os pontos onde a reta tangente é horizontal são
e
.