Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\ln \sqrt{\left(x^{2}+1\right) e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\sqrt{\bigl(x^{2}+1\bigr)e^{x}}.
O conteúdo principal envolve propriedades de logaritmo, simplificação algébrica e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Usamos \sqrt{A}=A^{1/2} e propriedades de logaritmo para escrever
f(x) =\ln\bigl[(x^{2}+1)^{1/2}e^{x/2}\bigr] =\ln(x^{2}+1)^{1/2}+\ln e^{x/2} =\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+\tfrac{x}{2}.

Passo 3

Derivando termo a termo,
– de \tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) vem
\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{x}{x^{2}+1},
– de \tfrac{x}{2} vem
\frac{1}{2}.
Somando, obtemos
f'(x)=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{2}.

Resposta

f'(x)=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{2}.

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