Considere a equação
Fazendo a substituição
e
encontre
e
de tal forma que a equação seja homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma equação diferencial usando uma substituição de coordenadas. A ideia é tornar a equação homogênea, ou seja, que ela possa ser expressa em termos de
. Para isso, vamos precisar substituir
e
e encontrar os valores de
e
que fazem essa transformação acontecer.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição na equação original:
Substituindo
e
, temos:
Como
e
são constantes, as derivadas
e
são zero, então simplificamos para:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar os termos para destacar os constantes:
Para que a equação seja homogênea, queremos que os termos constantes desapareçam. Ou seja, os coeficientes constantes no numerador e no denominador devem ser iguais a zero.
Passo 4
Vamos igualar a parte constante a zero:
Agora, temos um sistema de equações para resolver.
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Da equação (2):
Substituindo
na equação (1):
Agora, substituindo
na equação
:
Resposta
Os valores são
e
.