Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:
onde
e
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com condições iniciais e precisa usar a Transformada de Laplace para achar a solução. O enunciado é:
com
e
. No final, vamos calcular
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de
é
. E a da função
é apenas
. As transformadas dos δ de Dirac são
onde
é o ponto onde ocorre o delta.
Aplicando isso, temos:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos que contêm
:
Isolando
:
Passo 4
Agora, vamos separar a fração para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Passo 5
Vamos identificar as transformadas inversas. Sabemos que:
E usando o teorema de deslocamento, temos:
onde
é a função degrau de Heaviside.
Passo 6
Aplicando isso à nossa expressão para
:
Passo 7
Agora, vamos simplificar as soluções usando as propriedades trigonométricas. Sabemos que
e
. Então:
Passo 8
Vamos entender o que isso significa para diferentes intervalos de
:
-
Para
: -
e - Então,
-
-
Para
: -
e - Então,
-
-
Para
: -
e - Então,
-
Passo 9
Agora que temos a expressão para
em diferentes intervalos, vamos calcular os valores pedidos:
-
: -
, então usamos -
-
-
: -
, então usamos -
-
-
: -
, então usamos -
-
Resposta
Portanto, os valores são: