Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:
y'' + 4y = delta(t - pi) - delta(t - 2pi)
onde y(0) = 1 e y'(0) = 0. Calcule y(pi / 2), y(3 pi / 2) e y(3 pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com condições iniciais e precisa usar a Transformada de Laplace para achar a solução. O enunciado é:
com e . No final, vamos calcular , e .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de é . E a da função é apenas . As transformadas dos δ de Dirac são onde é o ponto onde ocorre o delta.
Aplicando isso, temos:

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos que contêm :
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos separar a fração para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:

Passo 5

Vamos identificar as transformadas inversas. Sabemos que:
E usando o teorema de deslocamento, temos:
onde é a função degrau de Heaviside.

Passo 6

Aplicando isso à nossa expressão para :

Passo 7

Agora, vamos simplificar as soluções usando as propriedades trigonométricas. Sabemos que e . Então:

Passo 8

Vamos entender o que isso significa para diferentes intervalos de :
  1. Para :
    • e
    • Então,
  2. Para :
    • e
    • Então,
  3. Para :
    • e
    • Então,

Passo 9

Agora que temos a expressão para em diferentes intervalos, vamos calcular os valores pedidos:
  1. :
    • , então usamos
  2. :
    • , então usamos
  3. :
    • , então usamos

Resposta

Portanto, os valores são:

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