Mostre que a substituição v = ln(x) na e.d.o x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = x transforma a equação em d^2y/dv^2 - 4dy/dv + 4y = e^v.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (edo) que precisa ser transformada usando a substituição . Nosso objetivo é mostrar que, ao fazer essa substituição na equação original , ela se transforma na nova equação . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para calcular as derivadas de em relação a e depois substituir na equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a substituição que vamos fazer: . Isso significa que . Nosso objetivo é reescrever as derivadas de em relação a em termos de derivadas em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia. Sabemos que .
Como , temos . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Usando a regra da cadeia novamente, temos:
Aplicando a regra do produto:
Substituindo :

Passo 5

Agora que temos e em termos de , vamos substituir esses resultados na equação diferencial original:
Simplificando cada termo:

Passo 6

Vamos juntar os termos semelhantes:
Lembrando que , podemos substituir:

Resposta

Assim, ao fazer a substituição na equação diferencial original, ela se transforma em:

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