Considere a equação
d y/d x = (y - 4 x)/(x - y)
(e) Verifique que a EDO encontrada para v é separável e resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que relaciona com e . A equação é:
O objetivo é verificar se essa EDO para uma nova variável é separável e, se for, resolver essa equação. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, especificamente técnicas de resolução de EDOs separáveis. Vamos precisar usar substituições para transformar a equação original em uma que seja mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir . Isso ajuda a eliminar termos e tornar a equação mais manejável.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar .

Passo 4

Substituímos na equação original pela expressão em termos de .
Dada a equação original:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Agora, usamos a expressão para que encontramos:
Vamos rearranjar essa equação para torná-la mais fácil de separar:

Passo 6

Observamos que a equação pode ser separada. Para isso, reescrevemos a equação em termos de e :
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:

Passo 7

Agora, separamos as variáveis e . Dividindo ambos os lados por :
Vamos rearranjar para obter:

Passo 8

Integramos ambos os lados da equação. A integral será em termos de e :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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