Resolver as integrais indefinidas abaixo usando o método de substituição trigonométrica.
integral x^3raizx^2-9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de substituição é útil quando temos expressões com raízes quadradas envolvendo quadrados, como . Vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz x = 3sectheta . Notamos que se parece com onde . Então, vamos deixar . Assim:

Passo 3

Agora, vamos encontrar dx = 3secthetatantheta dtheta em termos de . Derivando ambos os lados de em relação a :

Passo 4

Substituindo integral (3sectheta)^3raiz(3sectheta)^2-9 cdot 3secthetatantheta dtheta e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz9sec^2theta - 9 = raiz9(sec^2theta - 1) = raiz9tan^2theta = 3tantheta

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral 27sec^3theta3tantheta cdot 3secthetatantheta dtheta = integral 27sec^4theta dtheta

Passo 7

Agora, precisamos integrar integral sec^4theta dtheta = tantheta sec^2theta - integral sec^2theta dtheta . Sabemos que:
integral sec^4theta dtheta = tantheta sec^2theta - tantheta + C
E como , então:

Passo 8

Multiplicando pelo 27:
27(tantheta sec^2theta - tantheta) + C = 27tantheta (sec^2theta - 1) + C
Lembrando que 27tan^3theta + C :

Passo 9

Agora, vamos voltar para 27(raizx^2-93)^3 + C = 27 cdot (x^2-9)^3227 + C = (x^2-9)^32 + C . Sabemos que , então e .
Substituindo na expressão:

Resposta

A integral integral x^3raizx^2-9 dx = (x^2-9)^32 + C é igual a .

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