Dado que y = sen(x) é uma solução explícita da equação dy/dx = raiz(1 - y^2), qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(f) [-pi/2, pi/2] U [3pi/2, 5pi/2]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função como solução explícita da equação diferencial . Nosso objetivo é descobrir qual dos intervalos apresentados na alternativa (f) é o maior possível onde essa solução é válida. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas e as propriedades das funções trigonométricas, especialmente o seno e o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Sabemos que . A equação diferencial nos diz que , então substituindo , temos:

Passo 3

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a equação fica:

Passo 4

Para que , o cosseno de precisa ser não negativo. Ou seja:

Passo 5

Vamos identificar os intervalos onde . Sabemos que o cosseno é positivo nos seguintes intervalos dentro de um período de :
  • De a
  • De a
Esses são os intervalos onde a função satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

A alternativa (f) apresenta o maior intervalo de definição possível para a solução da equação diferencial .

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