Considere a equação diferencial dada por: (2,0)
y^prime prime+4 y^prime+5 y=0
Sabendo que y(0)=2 e y^prime(0)=-5. Resolva.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equação característica e aplicação de condições iniciais

Passo 2

Montamos a equação característica associada:
r^2 + 4r + 5 = 0
Resolvendo com fórmula de Bhaskara temos:
r = -4 pm raiz16 - 202 = -2 pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -2 pm i, a solução geral é:
y(t) = e^-2tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 4

Precisamos de y'(t) para usar a condição inicial em y'. Aplicando a regra do produto e derivadas de seno e cosseno:
y'(t) = e^-2tl((-2C1 + C2)cos t + (-2C2 - C1)sin tr)

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais:
  1. y(0)=2
y(0)=C1 = 2
  1. y'(0)=-5
y'(0) = -2C1 + C2 = -5 implies -4 + C2 = -5 implies C2 = -1

Passo 6

Com C1=2 e C2=-1 a solução particular é:
y(t) = e^-2tl(2cos t - sin tr)

Resposta

y(t)=e^-2tl(2cos t - sin tr)

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