Se f é uma função de densidade de probabilidade de ocorrência de um determinado evento, então a probabilidade de que o evento irá ocorrer no intervalo fechado [a, b] será denotada por P(a <= x <= b) é
P(a <= x <= b)=integrala^b f(x) d x Com base nessa informação, resolva o prob<=ma: çã
dada por
Par um determinado tipo de bateria elétrica, a função densidade de probabilidade de que x horas seja o tempo de vida útil de uma bateria escolhido ao acaso é dada por:
f(x)= 160 e^-x60 & se x >= 0 0 & se x <= 0
Encontre a probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso tenha um tempo de vida (a) entre 15 e 25 horas e (b) pelo menos 50 horas

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil X de uma bateria segue a densidade exponencial
f(x)=160e^-x/60,&x>=0,0,&x<0
Estamos no tema de distribuições contínuas (no caso, exponencial) e precisamos usar integrais ou a função de distribuição acumulada (FDA) para encontrar P(15\le X\le25) e P(X\ge50).

Passo 2

Para a distribuição exponencial com parâmetro theta=60, a função de distribuição acumulada é
F(x)=P(X<= x)=1-e^-x/theta=1-e^-x/60
Dessa forma:
  • P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)= e^-a/60-e^-b/60.
  • P(X\ge c)=1-F©=e^{-c/60}.

Passo 3

Aplicando em (a):
P(15<= X<=25)=e^-15/60-e^-25/60=e^-0.25-e^-0.4166dots
Calculando aproximadamente:
e^-0.25approx0.7788, e^-25/60=e^-0.4166dotsapprox0.6592,
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P(15<= X<=25)approx0.7788-0.6592=0.1196

Passo 4

Aplicando em (b):
P(X>=50)=e^-50/60=e^-5/6approx e^-0.8333=0.4346
Isso significa que cerca de 43,46% das baterias duram pelo menos 50 horas.

Resposta

(a) P(15<= X<=25)=e^-15/60-e^-25/60approx0.1196
(b) P(X>=50)=e^-50/60approx0.4346

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