Considere a equação diferencial:
y^prime prime(x)+4 y^prime(x)+5 y(x)=0
  1. Determine a equação característica associada à equação.
  2. Encontre as raízes da equação característica e classifique a solução da equação diferencial (real, complexa, etc.).
  3. Escreva a solução geral da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y''(x) + 4 y'(x) + 5 y(x) = 0
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a equação característica, encontrar suas raízes e, dependendo do tipo de raízes que a gente obter, escrever a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a equação característica associada à equação diferencial, a gente assume que a solução tem a forma y = e^rx , onde r é uma constante que precisamos descobrir.
Vamos substituir y = e^rx na equação diferencial:
  • A primeira derivada é y' = r e^rx
  • A segunda derivada é y'' = r^2 e^rx
Substituindo na equação:
r^2 e^rx + 4 r e^rx + 5 e^rx = 0
Como e^rx nunca é zero, podemos dividir toda a equação por e^rx :
r^2 + 4r + 5 = 0
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica r^2 + 4r + 5 = 0 para encontrar as raízes. Para resolver uma equação quadrática da forma ar^2 + br + c = 0 , usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 4 e c = 5 . Vamos calcular o discriminante De<a :
De<a = b^2 - 4ac = 16 - 20 = -4
Como o discriminante é negativo ( De<a < 0 ), sabemos que as raízes serão complexas conjugadas. Vamos calcular as raízes:
r = -4 pm raiz-42 = -4 pm 2i2 = -2 pm i
Então, as raízes são r1 = -2 + i e r2 = -2 - i .

Passo 4

Com raízes complexas da forma r = alpha pm beta i , a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
Aqui, alpha = -2 e beta = 1 . Substituindo esses valores na fórmula:
y(x) = e^-2x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )
Onde C1 e C2 são constantes que determinam as condições iniciais da equação.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^-2x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )

Exercícios relacionados