Considere a equação diferencial:
- Determine a equação característica associada à equação.
- Encontre as raízes da equação característica e classifique a solução da equação diferencial (real, complexa, etc.).
- Escreva a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a equação característica, encontrar suas raízes e, dependendo do tipo de raízes que a gente obter, escrever a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a equação característica associada à equação diferencial, a gente assume que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos descobrir.
Vamos substituir
na equação diferencial:
- A primeira derivada é
- A segunda derivada é
Substituindo na equação:
Como
nunca é zero, podemos dividir toda a equação por
:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
para encontrar as raízes. Para resolver uma equação quadrática da forma
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Vamos calcular o discriminante
:
Como o discriminante é negativo (
), sabemos que as raízes serão complexas conjugadas. Vamos calcular as raízes:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
. Substituindo esses valores na fórmula:
Onde
e
são constantes que determinam as condições iniciais da equação.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: