Use fraçþes parciais para determinar as seguintes integrais.
\int \frac{x{6}-x{3}+1}{x^{4}-9 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^6-x^3+1x^4-9x^2,dx
usando frações parciais.
Conteúdo: integração de função racional.
Vamos precisar de divisão de polinômios para obter uma parte polinomial + fração própria, depois fatorar o denominador e decompor em frações parciais.

Passo 2

Fazemos divisão de polinômios para escrever
x^6-x^3+1x^4-9x^2 = x^2+9 ;+; -,x^3+81x^2+1x^4-9x^2
Como x^4-9x^2=x^2(x^2-9), fica
x^6-x^3+1x^4-9x^2 = x^2+9 ;+; -,x^3+81x^2+1x^2(x-3)(x+3)

Passo 3

Decompondo
multiplicamos por
Isso gera o sistema
Daí
(;A=0,;B=-\tfrac{1}{9},;C=\tfrac{703}{54},;D=-\tfrac{757}{54}.]

Passo 4

Agora
integral x^6-x^3+1x^4-9x^2,dx = integral (x^2+9),dx + integrall(0x+-tfrac19x^2+tfrac70354x-3+-tfrac75754x+3r)dx
Integramos cada parte:
integral (x^2+9),dx = x^33+9x,
integral l(-tfrac19r)x^-2dx = 19x,
integral 703/54x-3dx = 70354lnlvert x-3rvert,
integral -757/54x+3dx = -75754lnlvert x+3rvert

Resposta

integral x^6-x^3+1x^4-9x^2,dx = x^33 + 9x + 19x + 70354,lnlvert x-3rvert - 75754,lnlvert x+3rvert + C

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