Considere a equação diferencial não homogênea:
y^prime prime(x)+2 y^prime(x)+2 y(x)=sin (x)
  1. Resolva a equação homogênea associada.
  2. Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução particular.
  3. Escreva a solução geral da equação completa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou:
y^prime prime(x) + 2 y^prime(x) + 2 y(x) = sin(x)
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Isso significa que a equação tem termos envolvendo a função y(x) e suas derivadas, e também possui um termo não homogêneo, que no caso é sin(x) .
Para resolver isso, vamos seguir três passos principais:
  1. Resolver a equação homogênea associada (onde igualamos o lado direito a zero).
  2. Encontrar uma solução particular usando o método de variação dos parâmetros.
  3. Escrever a solução geral combinando a solução da homogênea com a particular.
Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
y^prime prime(x) + 2 y^prime(x) + 2 y(x) = 0
Para resolver uma equação homogênea linear de segunda ordem, a gente normalmente assume uma solução da forma y(x) = e^rx , onde r é um número que precisamos descobrir. Substituindo essa forma na equação, temos:
r^2 e^rx + 2 r e^rx + 2 e^rx = 0
Podemos dividir toda a equação por e^rx (que nunca é zero), ficando:
r^2 + 2 r + 2 = 0
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) nos ajuda aqui:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
No nosso caso, a = 1 , b = 2 e c = 2 . Substituindo:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 cdot 1 = -2 pm raiz4 - 82 = -2 pm raiz-42
Aqui vemos que o discriminante De<a = b^2 - 4ac = -4 é negativo, o que indica que temos raízes complexas. Vamos expressar a raiz como:
r = -2 pm 2i2 = -1 pm i
Então, as soluções são r = -1 + i e r = -1 - i .
Quando temos raízes complexas da forma alpha pm beta i , a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
Aplicando isso ao nosso caso, onde alpha = -1 e beta = 1 :
yh(x) = e^-x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação original usando o método da variação dos parâmetros.
A equação não homogênea é:
y^prime prime(x) + 2 y^prime(x) + 2 y(x) = sin(x)
Sabemos que a solução geral será a soma da solução homogênea yh(x) que encontramos antes com uma solução particular yp(x) .
O método da variação dos parâmetros envolve assumir que os coeficientes C1 e C2 na solução homogênea são, na verdade, funções de x . Então, a solução particular terá a forma:
yp(x) = u1(x) cdot y1(x) + u2(x) cdot y2(x)
Onde y1(x) = e^-x cos(x) e y2(x) = e^-x sin(x) são as soluções da homogênea.
Para encontrar u1(x) e u2(x) , usamos as seguintes fórmulas:
u1'(x) = -y2(x) cdot g(x)W
u2'(x) = y1(x) cdot g(x)W
Onde g(x) = sin(x) é o termo não homogêneo, e W é o Wronskiano das soluções homogêneas, dado por:
W = y1 y2' - y2 y1'
Vamos calcular o Wronskiano:
Primeiro, derivamos y1(x) e y2(x) :
y1'(x) = ddx ( e^-x cos(x) ) = -e^-x cos(x) - e^-x sin(x)
y2'(x) = ddx ( e^-x sin(x) ) = -e^-x sin(x) + e^-x cos(x)
Agora, calculamos o Wronskiano:
W = y1 y2' - y2 y1' = e^-x cos(x) ( -e^-x sin(x) + e^-x cos(x) ) - e^-x sin(x) ( -e^-x cos(x) - e^-x sin(x) )
Simplificando:
W = e^-2x ( cos(x)(- sin(x) + cos(x)) - sin(x)(- cos(x) - sin(x)) )
W = e^-2x ( -cos(x)sin(x) + cos^2(x) + sin(x)cos(x) + sin^2(x) )
As termos -cos(x)sin(x) e sin(x)cos(x) se cancelam:
W = e^-2x ( cos^2(x) + sin^2(x) ) = e^-2x cdot 1 = e^-2x
Agora, podemos encontrar u1'(x) e u2'(x) :
u1'(x) = -y2(x) cdot g(x)W = -e^-x sin(x) cdot sin(x)e^-2x = -e^x sin^2(x)
u2'(x) = y1(x) cdot g(x)W = e^-x cos(x) cdot sin(x)e^-2x = e^x cos(x) sin(x)
Agora, integramos u1'(x) e u2'(x) para encontrar u1(x) e u2(x) :
Para u1(x) :
u1(x) = -integral e^x sin^2(x) dx
Usando uma identidade trigonométrica sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 :
u1(x) = -12 integral e^x (1 - cos(2x)) dx = -12 ( integral e^x dx - integral e^x cos(2x) dx )
Integral de e^x é e^x , e a integral de e^x cos(2x) pode ser resolvida por partes ou usando fórmulas de integração padrão, resultando em:
integral e^x cos(2x) dx = e^x ( cos(2x) + 2 sin(2x) )5
Então,
u1(x) = -12 ( e^x - e^x ( cos(2x) + 2 sin(2x) )5 ) = -12 ( 5 e^x - e^x cos(2x) - 2 e^x sin(2x)5 ) = -e^x10 ( 5 - cos(2x) - 2 sin(2x) )
Para u2(x) :
u2(x) = integral e^x cos(x) sin(x) dx
Podemos usar a identidade sin(x)cos(x) = 12 sin(2x) :
u2(x) = 12 integral e^x sin(2x) dx = 12 cdot e^x ( sin(2x) - 2 cos(2x) ) 5 = e^x10 ( sin(2x) - 2 cos(2x) )
Agora, temos u1(x) e u2(x) , podemos escrever a solução particular:
yp(x) = u1(x) y1(x) + u2(x) y2(x)
Substituindo os valores:
yp(x) = ( -e^x10 (5 - cos(2x) - 2 sin(2x)) ) e^-x cos(x) + ( e^x10 ( sin(2x) - 2 cos(2x) ) ) e^-x sin(x)
Simplificando e^x cdot e^-x = 1 :
yp(x) = -110 (5 - cos(2x) - 2 sin(2x)) cos(x) + 110 ( sin(2x) - 2 cos(2x) ) sin(x)
Podemos expandir isso, mas para simplificar, deixaremos a expressão assim, pois ela já representa a solução particular.

Passo 4

Agora, vamos juntar tudo para escrever a solução geral da equação diferencial original.
A solução geral y(x) é a soma da solução homogênea yh(x) com a solução particular yp(x) :
y(x) = yh(x) + yp(x)
Substituindo as expressões que encontramos:
y(x) = e^-x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) ) + [ -110 (5 - cos(2x) - 2 sin(2x)) cos(x) + 110 ( sin(2x) - 2 cos(2x) ) sin(x) ]
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^-x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) ) + [ -110 (5 - cos(2x) - 2 sin(2x)) cos(x) + 110 ( sin(2x) - 2 cos(2x) ) sin(x) ]
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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