Considere a equação diferencial não homogênea:
- Resolva a equação homogênea associada.
- Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução particular.
- Escreva a solução geral da equação completa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou:
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Isso significa que a equação tem termos envolvendo a função
e suas derivadas, e também possui um termo não homogêneo, que no caso é
.
Para resolver isso, vamos seguir três passos principais:
- Resolver a equação homogênea associada (onde igualamos o lado direito a zero).
- Encontrar uma solução particular usando o método de variação dos parâmetros.
- Escrever a solução geral combinando a solução da homogênea com a particular.
Vamos nessa!
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver uma equação homogênea linear de segunda ordem, a gente normalmente assume uma solução da forma
, onde
é um número que precisamos descobrir. Substituindo essa forma na equação, temos:
Podemos dividir toda a equação por
(que nunca é zero), ficando:
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) nos ajuda aqui:
No nosso caso,
,
e
. Substituindo:
Aqui vemos que o discriminante
é negativo, o que indica que temos raízes complexas. Vamos expressar a raiz como:
Então, as soluções são
e
.
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação homogênea é:
Aplicando isso ao nosso caso, onde
e
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação original usando o método da variação dos parâmetros.
A equação não homogênea é:
Sabemos que a solução geral será a soma da solução homogênea
que encontramos antes com uma solução particular
.
O método da variação dos parâmetros envolve assumir que os coeficientes
e
na solução homogênea são, na verdade, funções de
. Então, a solução particular terá a forma:
Onde
e
são as soluções da homogênea.
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas:
Onde
é o termo não homogêneo, e
é o Wronskiano das soluções homogêneas, dado por:
Vamos calcular o Wronskiano:
Primeiro, derivamos
e
:
Agora, calculamos o Wronskiano:
Simplificando:
As termos
e
se cancelam:
Agora, podemos encontrar
e
:
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Para
:
Usando uma identidade trigonométrica
:
Integral de
é
, e a integral de
pode ser resolvida por partes ou usando fórmulas de integração padrão, resultando em:
Então,
Para
:
Podemos usar a identidade
:
Agora, temos
e
, podemos escrever a solução particular:
Substituindo os valores:
Simplificando
:
Podemos expandir isso, mas para simplificar, deixaremos a expressão assim, pois ela já representa a solução particular.
Passo 4
Agora, vamos juntar tudo para escrever a solução geral da equação diferencial original.
A solução geral
é a soma da solução homogênea
com a solução particular
:
Substituindo as expressões que encontramos:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.