Considere a equação diferencial
\frac{d y}{d t}=6-2 y
(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial.
(b) Determine o comportamento de y quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
\frac{dy}{dt}=6-2y
e pede:
(a) o campo de direções associado;
(b) o comportamento de y(t) quando t\to\infty.
Para isso, vamos usar o conceito de campo de direções em EDOs autônomas e resolver a EDO linear para analisar sua solução geral.

Passo 2

Em um campo de direções, em cada ponto (t,y) desenhamos um pequeno segmento cuja inclinação é
m(y)=6-2y.
Como m depende só de y, temos retas de equilíbrio onde m(y)=0, i.e.\
6-2y=0\implies y=3.
Para y<3 obtemos m>0 (setas para cima) e para y>3 obtemos m<0 (setas para baixo). Exemplos de inclinações em alguns níveis de y:
y=0\implies m=6,\;y=1\implies m=4,\;y=2\implies m=2,\;y=4\implies m=-2,\;y=5\implies m=-4.
Desenhando linhas horizontais em vários valores de y e colocando essas inclinações, obtemos o campo de direções: setas subindo abaixo de y=3, horizontais em y=3 e descendo acima de y=3.

Passo 3

Para entender de fato para onde as soluções caminham, resolvemos a EDO por separação ou como linear. Reescrevendo
\frac{dy}{dt}+2y=6,
a solução geral é soma da homogênea y_h=C e^{-2t} com uma particular y_p=3. Logo
y(t)=3+Ce^{-2t},
onde C é constante ajustada pela condição inicial.

Passo 4

Analisando o limite quando t\to\infty, temos
\lim_{t\to\infty}Ce^{-2t}=0,
pois a exponencial decai. Portanto
\lim_{t\to\infty}y(t)=3.
Isso confirma que y=3 é uma linha de equilíbrio estável e que todas as soluções se aproximam de 3 à medida que o tempo cresce.

Resposta

(a) Campo de direções com inclinação 6-2y: setas para cima se y<3, horizontais em y=3 e para baixo se y>3.
(b) Para t\to\infty, y(t)\to3.

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