Considere a equação diferencial
(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial.
(b) Determine o comportamento de
quando
.
(b) Determine o comportamento de
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
e pede:
(a) o campo de direções associado;
(b) o comportamento de quando
.
Para isso, vamos usar o conceito de campo de direções em EDOs autônomas e resolver a EDO linear para analisar sua solução geral.
(a) o campo de direções associado;
(b) o comportamento de
Para isso, vamos usar o conceito de campo de direções em EDOs autônomas e resolver a EDO linear para analisar sua solução geral.
Passo 2
Em um campo de direções, em cada ponto
desenhamos um pequeno segmento cuja inclinação é
Como
depende só de
, temos retas de equilíbrio onde
, i.e.\
Para
obtemos
(setas para cima) e para
obtemos
(setas para baixo). Exemplos de inclinações em alguns níveis de
:
Desenhando linhas horizontais em vários valores de
e colocando essas inclinações, obtemos o campo de direções: setas subindo abaixo de
, horizontais em
e descendo acima de
.
Passo 3
Para entender de fato para onde as soluções caminham, resolvemos a EDO por separação ou como linear. Reescrevendo
a solução geral é soma da homogênea
com uma particular
. Logo
onde
é constante ajustada pela condição inicial.
Passo 4
Analisando o limite quando
, temos
pois a exponencial decai. Portanto
Isso confirma que
é uma linha de equilíbrio estável e que todas as soluções se aproximam de
à medida que o tempo cresce.
Resposta
(a) Campo de direções com inclinação
: setas para cima se
, horizontais em
e para baixo se
.
(b) Para ,
.
(b) Para