\lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}+5 x+4}{x^{2}+3 x-4}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to -4}\frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}+3x-4}.
O conteúdo envolve limites de funções racionais, reconhecimento de forma indeterminada \tfrac{0}{0} e fatoração de polinômios para cancelar fatores comuns.

Passo 2

Primeiro tentamos substituir x=-4 diretamente:
\text{numerador} = (-4)^{2}+5(-4)+4 = 16 -20 +4 = 0,
\text{denominador} = (-4)^{2}+3(-4)-4 = 16 -12 -4 = 0.
Obtivemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, então precisamos fatorar.

Passo 3

Fatoramos cada polinômio:
x^{2}+5x+4 = (x+1)(x+4),
x^{2}+3x-4 = (x+4)(x-1).
A expressão original fica
\frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}+3x-4} = \frac{(x+1)(x+4)}{(x+4)(x-1)}.

Passo 4

Como x\neq -4 próximo do ponto de limite, cancelamos o fator comum (x+4) e obtemos
\frac{x+1}{x-1}.
Agora fazemos x\to -4 sem indeterminação:
\lim_{x\to -4}\frac{x+1}{x-1} = \frac{-4+1}{-4-1} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}

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