Questão 1 - (Valor: 7 pontos)
Admitindo que o problema de Sturm-Liouville abaixo só tem autovalores positivos, determine autovalores bem como as autofunções associadas.
Admitindo que o problema de Sturm-Liouville abaixo só tem autovalores positivos, determine autovalores bem como as autofunções associadas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache os autovalores e autofunções do problema de Sturm–Liouville
com as condições de contorno
e
. O conteúdo aqui é resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes via equação característica e depois impor as condições de contorno para quantizar
.
Passo 2
Para resolver, colocamos
e montamos a equação característica
O discriminante é
logo as raízes são
Definimos
, de modo que as raízes ficam
.
Passo 3
Com raízes complexas conjugadas, a solução geral é
Impondo
dá
então
Passo 4
Agora
implica
Para não termos a solução trivial
, precisamos de
, ou seja
e como
tomamos
. Lembrando que
, segue
Passo 5
Portanto os autovalores e autofunções (até constante de escala) são