Questão 1 - (Valor: 7 pontos)
Admitindo que o problema de Sturm-Liouville abaixo só tem autovalores positivos, determine autovalores bem como as autofunções associadas.
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9(\lambda+1) y=0 \text { com } y(0)=0=y(\pi) .

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache os autovalores e autofunções do problema de Sturm–Liouville
y'' - 6y' + 9(\lambda + 1)\,y = 0
com as condições de contorno y(0)=0 e y(\pi)=0. O conteúdo aqui é resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes via equação característica e depois impor as condições de contorno para quantizar \lambda.

Passo 2

Para resolver, colocamos y=e^{r x} e montamos a equação característica
r^2 - 6r + 9(\lambda+1) = 0.
O discriminante é
\Delta = 36 - 36(\lambda+1) = -36\lambda,
logo as raízes são
r = \frac{6 \pm \sqrt{-36\lambda}}{2} = 3 \pm i\,3\sqrt{\lambda}.
Definimos \omega = 3\sqrt{\lambda}, de modo que as raízes ficam 3\pm i\omega.

Passo 3

Com raízes complexas conjugadas, a solução geral é
y(x) = e^{3x}\bigl(A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)\bigr).
Impondo y(0)=0
y(0)=A=0,
então
y(x) = B\,e^{3x}\sin(\omega x).

Passo 4

Agora y(\pi)=0 implica
B\,e^{3\pi}\sin(\omega\pi)=0.
Para não termos a solução trivial B=0, precisamos de \sin(\omega\pi)=0, ou seja
\omega\pi = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z},
e como \omega>0 tomamos n=1,2,3,\dots. Lembrando que \omega=3\sqrt{\lambda}, segue
3\sqrt{\lambda} = n \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{n^2}{9}.

Passo 5

Portanto os autovalores e autofunções (até constante de escala) são
\lambda_n = \frac{n^2}{9},\quad n=1,2,\dots,
y_n(x) = e^{3x}\,\sin(n x).

Resposta

\lambda_n = \dfrac{n^2}{9},\quad y_n(x) = C\,e^{3x}\sin(nx),\;n=1,2,\dots.

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