Considere a equação diferencial
.
(a) Verifique se a equação é exata.
(b) Encontre a solução geral.
(c) Determine a solução que satisfaz
(a) Verifique se a equação é exata.
(b) Encontre a solução geral.
(c) Determine a solução que satisfaz
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e nos dá a equação diferencial
As perguntas são:
(a) Verificar se a equação é exata.
(b) Encontrar a solução geral (ou seja, a família de curvas implícitas que satisfazem a equação).
(c) Determinar a solução particular que satisfaz .
Informações relevantes dadas: a forma explícita dos coeficientes que multiplicam e
, ou seja,
e
.
(a) Verificar se a equação é exata.
(b) Encontrar a solução geral (ou seja, a família de curvas implícitas que satisfazem a equação).
(c) Determinar a solução particular que satisfaz
Informações relevantes dadas: a forma explícita dos coeficientes que multiplicam
Passo 2
O primeiro passo prático é identificar as funções
e
na forma padrão
Aqui, explicitamente:
Vou sempre escrever as expressões em TeX para ficar certinho. Isso é só organizar a equação para aplicar o teste de exatidão.
Passo 3
Agora vamos lembrar o que significa “ser exata” e como testar: a equação é exata se existe uma função
tal que
Um teste prático necessário (e suficiente quando
e
são contínuas e o domínio é adequado) é verificar se
Aqui usamos derivadas parciais: ao calcular
tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
; ao calcular
tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais. Para
, derivando em relação a
(com
constante):
Para
, derivando em relação a
(com
constante):
Como obtivemos o mesmo resultado,
concluímos que a equação é exata.
Passo 5
Porque a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
e
. A estratégia para encontrar
é integrar
em relação a
(tratando
como constante) e depois ajustar com uma função de
que apareça como “constante de integração” em relação a
.
Integramos
em relação a
:
Ao integrar termo a termo, lembrando que
é constante:
Somando e adicionando uma função arbitrária de
, que chamo de
, porque ao derivar em
ela desaparece:
Explicação do passo: quando integramos em
, qualquer função que dependa só de
aparece como “constante” da integração — por isso adicionamos
.
Passo 6
Agora forçamos a condição
para determinar
. Primeiro calculemos
a partir de
. Diferenciando em relação a
(com
constante):
Mas devemos ter
. Comparando:
Logo
. Integrando
obtemos
, uma constante real.
Passo 7
Portanto a função potencial é, até uma constante,
A solução geral implícita da equação exata é dada por
. Assim podemos escrever a família de soluções como
onde
é uma constante arbitrária. Observação prática: podemos fatorar a expressão à esquerda como
portanto outra forma útil da solução geral é
Passo 8
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituímos
e
na solução implícita para determinar
:
Logo
. Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
ou, fatorada,
Passo 9
(Verificação rápida — opcional mas didática) Podemos diferenciar implicitamente a solução geral
em relação a
para checar que recuperamos a equação original. Diferenciando:
usando produto e regra da cadeia (lembrando que
):
Agrupando os termos com
:
que é exatamente a equação
ou seja
confirmando que a solução obtida é coerente com a equação diferencial.
Resposta
(a) Sim, é exata.
(b) Solução geral: (com
constante).
(c) Solução com :
.
(b) Solução geral:
(c) Solução com