Considere a equação diferencial \left(2 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0.
(a) Verifique se a equação é exata.
(b) Encontre a solução geral.
(c) Determine a solução que satisfaz y(1)=1\left(\mathrm{R} .: x^{2} y+x y^{2}=2\right)

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e nos dá a equação diferencial
\left(2 x y+y^{2}\right)\,dx+\left(x^{2}+2 x y\right)\,dy=0.
As perguntas são:
(a) Verificar se a equação é exata.
(b) Encontrar a solução geral (ou seja, a família de curvas implícitas que satisfazem a equação).
(c) Determinar a solução particular que satisfaz \,y(1)=1.
Informações relevantes dadas: a forma explícita dos coeficientes que multiplicam dx e dy, ou seja, M(x,y)=2xy+y^{2} e N(x,y)=x^{2}+2xy.

Passo 2

O primeiro passo prático é identificar as funções M(x,y) e N(x,y) na forma padrão
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
Aqui, explicitamente:
M(x,y)=2xy+y^{2},\qquad N(x,y)=x^{2}+2xy.
Vou sempre escrever as expressões em TeX para ficar certinho. Isso é só organizar a equação para aplicar o teste de exatidão.

Passo 3

Agora vamos lembrar o que significa “ser exata” e como testar: a equação é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Um teste prático necessário (e suficiente quando M e N são contínuas e o domínio é adequado) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui usamos derivadas parciais: ao calcular \partial M/\partial y tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y; ao calcular \partial N/\partial x tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais. Para \,M(x,y)=2xy+y^{2}, derivando em relação a y (com x constante):
\frac{\partial M}{\partial y}=2x+2y.
Para \,N(x,y)=x^{2}+2xy, derivando em relação a x (com y constante):
\frac{\partial N}{\partial x}=2x+2y.
Como obtivemos o mesmo resultado,
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=2x+2y,
concluímos que a equação é exata.

Passo 5

Porque a equação é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. A estratégia para encontrar \Phi é integrar M em relação a x (tratando y como constante) e depois ajustar com uma função de y que apareça como “constante de integração” em relação a x.
Integramos M em relação a x:
\int M(x,y)\,dx=\int (2xy+y^{2})\,dx.
Ao integrar termo a termo, lembrando que y é constante:
\int 2xy\,dx = 2y\int x\,dx = 2y\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}y,
\int y^{2}\,dx = y^{2}\int 1\,dx = y^{2}x = x y^{2}.
Somando e adicionando uma função arbitrária de y, que chamo de g(y), porque ao derivar em x ela desaparece:
\Phi(x,y)=x^{2}y+x y^{2}+g(y).
Explicação do passo: quando integramos em x, qualquer função que dependa só de y aparece como “constante” da integração — por isso adicionamos g(y).

Passo 6

Agora forçamos a condição \Phi_{y}=N(x,y) para determinar g(y). Primeiro calculemos \Phi_{y} a partir de \Phi(x,y)=x^{2}y+x y^{2}+g(y). Diferenciando em relação a y (com x constante):
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{2}+2xy+g'(y).
Mas devemos ter \Phi_{y}=N(x,y)=x^{2}+2xy. Comparando:
x^{2}+2xy+g'(y)=x^{2}+2xy.
Logo g'(y)=0. Integrando g'(y)=0 obtemos g(y)=C, uma constante real.

Passo 7

Portanto a função potencial é, até uma constante,
\Phi(x,y)=x^{2}y+x y^{2}+C.
A solução geral implícita da equação exata é dada por \Phi(x,y)=\text{constante}. Assim podemos escrever a família de soluções como
x^{2}y + x y^{2} = C,
onde C é uma constante arbitrária. Observação prática: podemos fatorar a expressão à esquerda como
x^{2}y + x y^{2} = x y (x+y),
portanto outra forma útil da solução geral é
x y (x+y)=C.

Passo 8

Agora aplicamos a condição inicial \,y(1)=1. Substituímos x=1 e y=1 na solução implícita para determinar C:
1^{2}\cdot 1 + 1\cdot 1^{2} = 1+1 = 2.
Logo C=2. Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
x^{2}y + x y^{2} = 2,
ou, fatorada,
x y (x+y)=2.

Passo 9

(Verificação rápida — opcional mas didática) Podemos diferenciar implicitamente a solução geral \,x^{2}y+x y^{2}=C em relação a x para checar que recuperamos a equação original. Diferenciando:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y+x y^{2}\bigr)=0
usando produto e regra da cadeia (lembrando que y=y(x)):
2x y + x^{2}y' + y^{2} + 2x y y' = 0.
Agrupando os termos com y':
( x^{2} + 2x y ) y' + (2x y + y^{2}) = 0,
que é exatamente a equação
(2x y + y^{2}) + (x^{2} + 2x y)\,y' = 0,
ou seja
(2x y + y^{2})\,dx + (x^{2} + 2x y)\,dy =0,
confirmando que a solução obtida é coerente com a equação diferencial.

Resposta

(a) Sim, é exata.
(b) Solução geral: x^{2}y + x y^{2} = C (com C constante).
(c) Solução com y(1)=1: x^{2}y + x y^{2} = 2.

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