População de ratos e predação por corujas: Uma população de ratos p(t) cresce a uma taxa proporcional à população com taxa r=0,5 por mês. Corujas na região consomem, em média, 450 ratos por mês (termo constante de predação).
(a) Modele o problema por uma EDO e encontre a solução geral e a solução \operatorname{com} p(0)=850. (R.: EDO: \frac{d p}{d t}=0.5 p-450. Solução geral: p(t)=C e^{0.5 t}+900.)
(b) Encontre o ponto de equilíbrio e determine se ele é estável. (R.: Ponto de equilíbrio p=900 (Instável).)

Passo 1

O enunciado dá uma população de ratos p(t) com crescimento proporcional à população e taxa r=0,5 por mês e uma predação constante de 450 ratos por mês pelas corujas. Perguntas do exercício:
  1. (a) Modelar por uma EDO e encontrar a solução geral e a solução que satisfaz p(0)=850.
  2. (b) Encontrar o ponto de equilíbrio e decidir se é estável ou instável.
    Informações relevantes fornecidas: taxa de crescimento r=0,5, termo de predação constante 450 (subtrai da taxa de variação), condição inicial p(0)=850.

Passo 2

Montando o modelo: crescimento proporcional à população significa que a contribuição ao crescimento é r\,p(t). A predação constante reduz a população à taxa fixa de 450 ratos por mês. Somando os efeitos (crescimento positivo menos predação) obtemos a equação diferencial para a taxa de variação \frac{dp}{dt}. Assim a EDO é
\frac{dp}{dt}=0,5\,p-450.
Aqui a notação: \frac{dp}{dt} é a derivada de p em relação ao tempo t (meses), 0,5\,p representa o crescimento proporcional e 450 a retirada por predação.

Passo 3

Identificando o tipo de EDO: \frac{dp}{dt}=0,5\,p-450 é uma EDO linear de primeira ordem, não homogênea, com coeficiente constante. Método conveniente: resolver a parte homogênea e depois achar uma solução particular. A parte homogênea é
\frac{dp}{dt}=0,5\,p.
Essa é uma equação separável; vou mostrar a resolução para aprender a usar na prova.

Passo 4

Resolvendo a homogênea por separação (passo a passo): escrever \frac{dp}{p}=0,5\,dt. Integrando ambos os lados,
\int \frac{1}{p}\,dp = \int 0,5\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|p|=0,5\,t+C_1,
onde C_1 é constante de integração. Exponenciando,
p_h(t)=C e^{0,5 t},
onde C=e^{C_1} é uma constante arbitrária (pode ser positiva ou negativa, mas, fisicamente, p deve ser não negativa).

Passo 5

Achar uma solução particular: como o termo não homogêneo é constante -450, procuramos uma solução particular constante p_p. Se p_p é constante então \frac{dp_p}{dt}=0. Substituindo na EDO:
0 = 0,5\,p_p - 450 \quad\Rightarrow\quad p_p = \frac{450}{0,5}=900.
Portanto uma solução particular é p_p(t)=900.

Passo 6

Combinar soluções (princípio da superposição para EDO linear): a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
p(t)=C e^{0,5 t}+900,
onde C é constante determinada pela condição inicial. Isso é a solução geral pedida.

Passo 7

Aplicar a condição inicial p(0)=850 para determinar C. Substituindo t=0 na solução geral:
850 = C e^{0}+900 \quad\Rightarrow\quad 850 = C + 900.
Logo
C = 850-900 = -50.
Assim a solução com a condição inicial é
p(t)=900-50 e^{0,5 t}.

Passo 8

Encontrar o ponto de equilíbrio: ponto de equilíbrio (ou ponto estacionário) p^* satisfaz \frac{dp}{dt}=0. Usando a EDO,
0=0,5\,p^*-450 \quad\Rightarrow\quad p^*=900.
Interpretação: se a população for exatamente 900, a taxa de variação é zero (crescimento e predação se equilibram).

Passo 9

Determinar estabilidade do equilíbrio: para equações autônomas \frac{dp}{dt}=f(p) podemos linearizar e olhar o sinal de f'(p^*). Aqui f(p)=0,5\,p-450, logo
f'(p)=0,5 \quad\text{para todo }p.
Em particular f'(p^*)=0,5>0. Regras práticas: se f'(p^*)<0 o equilíbrio é assintoticamente estável (pequenas perturbações voltam para p^*); se f'(p^*)>0 o equilíbrio é instável (pequenas perturbações crescem e afastam-se de p^*). Como aqui f'(p^*)=0,5>0, o ponto p=900 é instável. Uma explicação direta: se p=900+\varepsilon com \varepsilon>0 pequeno, então \frac{dp}{dt}=0,5\varepsilon>0 e p aumenta (afasta-se para cima); se \varepsilon<0, \frac{dp}{dt}=0,5\varepsilon<0 e p diminui (afasta-se para baixo). Portanto é um repulsor.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dp}{dt}=0,5\,p-450. Solução geral: \displaystyle p(t)=C e^{0,5 t}+900. Solução com p(0)=850: \displaystyle p(t)=900-50 e^{0,5 t}.\n
(b) Ponto de equilíbrio: \displaystyle p=900. Estabilidade: instável.

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