População de ratos e predação por corujas: Uma população de ratos
cresce a uma taxa proporcional à população com taxa
por mês. Corujas na região consomem, em média, 450 ratos por mês (termo constante de predação).
(a) Modele o problema por uma EDO e encontre a solução geral e a solução
. (R.: EDO:
. Solução geral:
.)
(b) Encontre o ponto de equilíbrio e determine se ele é estável. (R.: Ponto de equilíbrio
(Instável).)
(a) Modele o problema por uma EDO e encontre a solução geral e a solução
(b) Encontre o ponto de equilíbrio e determine se ele é estável. (R.: Ponto de equilíbrio
Passo 1
O enunciado dá uma população de ratos
com crescimento proporcional à população e taxa
por mês e uma predação constante de
ratos por mês pelas corujas. Perguntas do exercício:
- (a) Modelar por uma EDO e encontrar a solução geral e a solução que satisfaz
. - (b) Encontrar o ponto de equilíbrio e decidir se é estável ou instável.
Informações relevantes fornecidas: taxa de crescimento, termo de predação constante (subtrai da taxa de variação), condição inicial .
Passo 2
Montando o modelo: crescimento proporcional à população significa que a contribuição ao crescimento é
. A predação constante reduz a população à taxa fixa de
ratos por mês. Somando os efeitos (crescimento positivo menos predação) obtemos a equação diferencial para a taxa de variação
. Assim a EDO é
Aqui a notação:
é a derivada de
em relação ao tempo
(meses),
representa o crescimento proporcional e
a retirada por predação.
Passo 3
Identificando o tipo de EDO:
é uma EDO linear de primeira ordem, não homogênea, com coeficiente constante. Método conveniente: resolver a parte homogênea e depois achar uma solução particular. A parte homogênea é
Essa é uma equação separável; vou mostrar a resolução para aprender a usar na prova.
Passo 4
Resolvendo a homogênea por separação (passo a passo): escrever
. Integrando ambos os lados,
onde
é constante de integração. Exponenciando,
onde
é uma constante arbitrária (pode ser positiva ou negativa, mas, fisicamente,
deve ser não negativa).
Passo 5
Achar uma solução particular: como o termo não homogêneo é constante
, procuramos uma solução particular constante
. Se
é constante então
. Substituindo na EDO:
Portanto uma solução particular é
.
Passo 6
Combinar soluções (princípio da superposição para EDO linear): a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde
é constante determinada pela condição inicial. Isso é a solução geral pedida.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na solução geral:
Logo
Assim a solução com a condição inicial é
Passo 8
Encontrar o ponto de equilíbrio: ponto de equilíbrio (ou ponto estacionário)
satisfaz
. Usando a EDO,
Interpretação: se a população for exatamente
, a taxa de variação é zero (crescimento e predação se equilibram).
Passo 9
Determinar estabilidade do equilíbrio: para equações autônomas
podemos linearizar e olhar o sinal de
. Aqui
, logo
Em particular
. Regras práticas: se
o equilíbrio é assintoticamente estável (pequenas perturbações voltam para
); se
o equilíbrio é instável (pequenas perturbações crescem e afastam-se de
). Como aqui
, o ponto
é instável. Uma explicação direta: se
com
pequeno, então
e
aumenta (afasta-se para cima); se
,
e
diminui (afasta-se para baixo). Portanto é um repulsor.
Resposta
(a)
Solução geral:
Solução com
:
\n
(b) Ponto de equilíbrio: Estabilidade: instável.
(b) Ponto de equilíbrio: