Problema de Mistura num Tanque: Um tanque contém 100 litros de solução (água e sal). Entra uma solução com concentração constante de (
) à vazão de (
). A mistura é mantida homogênea e sai pela mesma vazão de
, de modo que o volume permanece constante. No instante inicial, a quantidade de sal no tanque é:
.
(a) Modele uma equação diferencial para a quantidade de sal
em quilogramas no tanque ao longo do tempo. (R.:
)
(b) Resolva a EDO com a condição inicial dada e determine a expressão da concentração
, onde
é determinada por
)
(a) Modele uma equação diferencial para a quantidade de sal
(b) Resolva a EDO com a condição inicial dada e determine a expressão da concentração
Passo 1
O enunciado dá um tanque com volume constante de
litros contendo uma mistura de água e sal. Entram
de uma solução com concentração constante de
e sai pela mesma vazão
, mantendo o volume constante. A condição inicial é
As perguntas são:
- (a) Modelar uma equação diferencial para a quantidade de sal
em . - (b) Resolver essa equação com a condição inicial dada e encontrar a expressão da concentração
.
Passo 2
Vamos entender fisicamente como montar a equação: a variação da quantidade de sal no tanque é igual à taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal. Em símbolos:
Isso é natural: se entra mais sal do que sai,
aumenta; se sai mais,
diminui. As unidades de cada termo devem ser
.
Passo 3
Calcular a taxa de entrada. A solução que entra tem concentração
e vazão
. Portanto a quantidade de sal que entra por minuto é
Aqui multiplicamos concentração (kg/L) pela vazão (L/min) para obter kg/min.
Passo 4
Calcular a taxa de saída. A concentração da mistura dentro do tanque, em um dado instante
, é a quantidade de sal dividida pelo volume:
Como a vazão de saída é
, a taxa de sal que sai é
Passo 5
Substituindo taxa de entrada e saída na equação de balanço obtemos a equação diferencial do problema:
Isto responde a parte (a).
Passo 6
Agora vamos resolver a EDO. Primeiro colocamos em forma padrão linear:
Isto é uma equação linear de primeira ordem do tipo
com
(constante) e
.
Passo 7
Usamos o fator integrante. O fator integrante é
Multiplicando a equação padrão por
obtemos:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Passo 8
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Isolando
fica
Essa é a solução geral da EDO.
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
. Avaliando a solução geral em
:
Logo
Passo 10
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular:
Podemos escrever no formato pedido
identificando
A concentração no tanque é
Observação rápida: quando
temos
kg e
(estado de equilíbrio), o que faz sentido fisicamente.
Resposta
(a)
\n
(b) e
(aqui
).
(b)