Problema de Mistura num Tanque: Um tanque contém 100 litros de solução (água e sal). Entra uma solução com concentração constante de ( 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{L} ) à vazão de ( 5 \mathrm{~L} / \mathrm{min} ). A mistura é mantida homogênea e sai pela mesma vazão de (5 \mathrm{~L} / \mathrm{min}), de modo que o volume permanece constante. No instante inicial, a quantidade de sal no tanque é: Q(0)=100\left(1-0.05 e^{1.5}\right) \mathrm{kg}.
(a) Modele uma equação diferencial para a quantidade de sal Q(t) em quilogramas no tanque ao longo do tempo. (R.: \frac{d Q}{d t}=5-\frac{Q}{20} )
(b) Resolva a EDO com a condição inicial dada e determine a expressão da concentração (C(t)= \left.\frac{Q(t)}{100}\right) \cdot\left(\mathrm{R} .: Q(t)=100-k e^{-t / 20}\right., onde k é determinada por Q(0) )

Passo 1

O enunciado dá um tanque com volume constante de 100 litros contendo uma mistura de água e sal. Entram 5\\ \mathrm{L/min} de uma solução com concentração constante de 1\\ \mathrm{kg/L} e sai pela mesma vazão 5\\ \mathrm{L/min}, mantendo o volume constante. A condição inicial é
Q(0)=100\left(1-0,05 e^{1,5}\right)\\ \mathrm{kg}.
As perguntas são:
  1. (a) Modelar uma equação diferencial para a quantidade de sal Q(t) em \mathrm{kg}.
  2. (b) Resolver essa equação com a condição inicial dada e encontrar a expressão da concentração C(t)=\dfrac{Q(t)}{100}.

Passo 2

Vamos entender fisicamente como montar a equação: a variação da quantidade de sal no tanque é igual à taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal. Em símbolos:
\frac{dQ}{dt}=\text{(taxa de entrada)}-\text{(taxa de saída)}.í
Isso é natural: se entra mais sal do que sai, Q aumenta; se sai mais, Q diminui. As unidades de cada termo devem ser \mathrm{kg/min}.

Passo 3

Calcular a taxa de entrada. A solução que entra tem concentração 1\\ \mathrm{kg/L} e vazão 5\\ \mathrm{L/min}. Portanto a quantidade de sal que entra por minuto é
\text{taxa de entrada} = 1\\ \mathrm{kg/L}\times 5\\ \mathrm{L/min}=5\\ \mathrm{kg/min}.
Aqui multiplicamos concentração (kg/L) pela vazão (L/min) para obter kg/min.

Passo 4

Calcular a taxa de saída. A concentração da mistura dentro do tanque, em um dado instante t, é a quantidade de sal dividida pelo volume:
\text{concentração no tanque}=\frac{Q(t)}{100}\\ \mathrm{kg/L}.çã
Como a vazão de saída é 5\\ \mathrm{L/min}, a taxa de sal que sai é
\text{taxa de saída}=\frac{Q(t)}{100}\times 5=\frac{Q(t)}{20}\\ \mathrm{kg/min}.í

Passo 5

Substituindo taxa de entrada e saída na equação de balanço obtemos a equação diferencial do problema:
\frac{dQ}{dt}=5-\frac{Q}{20}.
Isto responde a parte (a).

Passo 6

Agora vamos resolver a EDO. Primeiro colocamos em forma padrão linear:
\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{20}Q=5.
Isto é uma equação linear de primeira ordem do tipo \dfrac{dQ}{dt}+p(t)Q=g(t) com p(t)=\dfrac{1}{20} (constante) e g(t)=5.

Passo 7

Usamos o fator integrante. O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}=e^{\int \frac{1}{20}\,dt}=e^{t/20}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t) obtemos:
e^{t/20}\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{20}e^{t/20}Q = 5e^{t/20}.
O lado esquerdo é a derivada do produto Q e^{t/20}, isto é,
\frac{d}{dt}\!\left(Qe^{t/20}\right)=5e^{t/20}.

Passo 8

Integramos ambos os lados em t:
Qe^{t/20}=\int 5e^{t/20}\,dt =5\cdot 20\,e^{t/20}+C=100e^{t/20}+C,
onde C é a constante de integração. Isolando Q fica
Q(t)=100 + C e^{-t/20}.
Essa é a solução geral da EDO.

Passo 9

Aplicamos a condição inicial Q(0)=100\left(1-0,05 e^{1,5}\right). Avaliando a solução geral em t=0:
Q(0)=100 + C \cdot e^{0}=100+C.
Logo
C=Q(0)-100=100\left(1-0,05 e^{1,5}\right)-100=-5 e^{1,5}.

Passo 10

Substituindo C na solução geral obtemos a solução particular:
Q(t)=100 - 5 e^{1,5} e^{-t/20}=100-5e^{\,1{,}5-\tfrac{t}{20}}.
Podemos escrever no formato pedido Q(t)=100-ke^{-t/20} identificando
k=5e^{1{,}5}.
A concentração no tanque é
C(t)=\frac{Q(t)}{100}=1-0{,}05 e^{1{,}5} e^{-t/20}=1-0{,}05e^{\,1{,}5-\tfrac{t}{20}}.
Observação rápida: quando t\to\infty temos Q(t)\to 100 kg e C(t)\to 1\\ \mathrm{kg/L} (estado de equilíbrio), o que faz sentido fisicamente.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dQ}{dt}=5-\frac{Q}{20}\n
(b) \displaystyle Q(t)=100-5e^{1{,}5}e^{-t/20} e \displaystyle C(t)=\frac{Q(t)}{100}=1-0{,}05e^{1{,}5}e^{-t/20} (aqui k=5e^{1{,}5}).

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