Considere a equação diferencial linear não homogênea:
a) (0,8 pt) Encontre a solução geral da equaçāo homogênea associada.
b) (1,2 pt) Utilizando o método dos Coeficientes Indeterminados, encontre uma soluçāo particular para a equação nāo homogênea.
c) (0,5 pt) Escreva a soluçāo geral da equaçāo diferencial.
b) (1,2 pt) Utilizando o método dos Coeficientes Indeterminados, encontre uma soluçāo particular para a equação nāo homogênea.
c) (0,5 pt) Escreva a soluçāo geral da equaçāo diferencial.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede:
- (a) encontrar a solução geral da equação homogênea associada;
- (b) usando o método dos coeficientes indeterminados, encontrar uma solução particular da equação não homogênea;
- (c) escrever a solução geral da equação diferencial completa.
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio
.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (parte a).
Primeiro escrevo a equação homogênea associada:
Divido ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Explicação do método: para equações lineares com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo
. Substituindo
na equação diferencial, obtemos a equação algébrica (equação característica) para
.
Formo a equação característica:
Resolvo a equação característica:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes. Portanto:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher e justificar o Ansatz para a solução particular (início da parte b).
Explicação do método dos coeficientes indeterminados: quando o termo não homogêneo é um polinômio em
(aqui
), tenta-se uma solução particular também na forma de polinômio de mesma ordem, a menos que haja ressonância com a solução homogênea (ou seja, que um termo do mesmo tipo já apareça na homogênea). Como a homogênea contém apenas
e
, não há termo constante nem polinomial nela, então não há ressonância com polinômios. Assim escolhemos o Ansatz polinomial de grau 2:
onde
,
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calcular as derivadas do Ansatz e substituir na equação (continuação da parte b).
Calculo as derivadas:
Substituo na equação original
:
Agora substituo explicitamente
e
:
Faço a expansão e simplificação do lado esquerdo:
Organizo por potências de
:
Passo 5
Determinar os coeficientes
,
e
igualando coeficientes (continuação da parte b).
Igualando coeficientes de potências iguais de
obtemos o sistema:
Resolvo cada equação:
Da primeira,
Da primeira,
Da segunda,
Da terceira, substituindo
:
Portanto a solução particular é
Passo 6
Escrever a solução geral da equação diferencial (parte c).
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com uma solução particular. Assim:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
(a)
(b)
(c)