Considere a equação diferencial linear não homogênea:
2 y^{\prime \prime}-8 y=3 t^{2}
a) (0,8 pt) Encontre a solução geral da equaçāo homogênea associada.
b) (1,2 pt) Utilizando o método dos Coeficientes Indeterminados, encontre uma soluçāo particular para a equação nāo homogênea.
c) (0,5 pt) Escreva a soluçāo geral da equaçāo diferencial.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
2 y^{\prime\prime}-8 y=3 t^{2}
e pede:
  • (a) encontrar a solução geral da equação homogênea associada;
  • (b) usando o método dos coeficientes indeterminados, encontrar uma solução particular da equação não homogênea;
  • (c) escrever a solução geral da equação diferencial completa.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio 3 t^{2}.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (parte a).
Primeiro escrevo a equação homogênea associada:
2 y^{\prime\prime}-8 y=0
Divido ambos os lados por 2 para obter a forma padrão:
y^{\prime\prime}-4y=0
Explicação do método: para equações lineares com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo y=e^{rt}. Substituindo y=e^{rt} na equação diferencial, obtemos a equação algébrica (equação característica) para r.
Formo a equação característica:
r^{2}-4=0
Resolvo a equação característica:
r^{2}=4\quad\Rightarrow\quad r=\pm 2
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes. Portanto:
y_{h}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-2t}
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher e justificar o Ansatz para a solução particular (início da parte b).
Explicação do método dos coeficientes indeterminados: quando o termo não homogêneo é um polinômio em t (aqui 3t^{2}), tenta-se uma solução particular também na forma de polinômio de mesma ordem, a menos que haja ressonância com a solução homogênea (ou seja, que um termo do mesmo tipo já apareça na homogênea). Como a homogênea contém apenas e^{2t} e e^{-2t}, não há termo constante nem polinomial nela, então não há ressonância com polinômios. Assim escolhemos o Ansatz polinomial de grau 2:
y_{p}(t)=A t^{2}+B t+C
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 4

Calcular as derivadas do Ansatz e substituir na equação (continuação da parte b).
Calculo as derivadas:
y_{p}^{\prime}(t)=2A t+B
y_{p}^{\prime\prime}(t)=2A
Substituo na equação original 2 y^{\prime\prime}-8 y=3 t^{2}:
2\bigl(y_{p}^{\prime\prime}\bigr)-8y_{p}=3t^{2}
Agora substituo explicitamente y_{p}^{\prime\prime}=2A e y_{p}=A t^{2}+B t+C:
2(2A)-8\bigl(A t^{2}+B t+C\bigr)=3t^{2}
Faço a expansão e simplificação do lado esquerdo:
4A-8A t^{2}-8B t-8C=3t^{2}
Organizo por potências de t:
(-8A)t^{2}+(-8B)t+(4A-8C)=3t^{2}+0\cdot t+0

Passo 5

Determinar os coeficientes A, B e C igualando coeficientes (continuação da parte b).
Igualando coeficientes de potências iguais de t obtemos o sistema:
-8A=3
-8B=0
4A-8C=0
Resolvo cada equação:
Da primeira,
A=-\dfrac{3}{8}
Da segunda,
B=0
Da terceira, substituindo A:
4\!\left(-\dfrac{3}{8}\right)-8C=0
-\dfrac{12}{8}-8C=0
-\dfrac{3}{2}-8C=0
8C=-\dfrac{3}{2}
C=-\dfrac{3}{16}
Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=-\dfrac{3}{8}t^{2}-\dfrac{3}{16}

Passo 6

Escrever a solução geral da equação diferencial (parte c).
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com uma solução particular. Assim:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-2t}-\dfrac{3}{8}t^{2}-\dfrac{3}{16}
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

(a) y_{h}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-2t}
(b) y_{p}(t)=-\dfrac{3}{8}t^{2}-\dfrac{3}{16}
(c) y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-2t}-\dfrac{3}{8}t^{2}-\dfrac{3}{16}

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