Considere a equação diferencial linear: (1,5 ponto)
\frac{d y}{d x}-\frac{1}{x} y=x^{2}, \quad x>0
(a) Determine o fator integrante.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Verifique a solução obtida substituindo na equação original.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{d y}{d x}-\frac{1}{x} y=x^{2}, \quad x>0.
As perguntas são:
(a) Determinar o fator integrante.
(b) Resolver a equação diferencial (achar a solução geral).
(c) Verificar a solução obtida substituindo-a na equação original.
Informações relevantes dadas:
  • A equação está escrita como \dfrac{d y}{d x}-\dfrac{1}{x}y=x^{2}.
  • O domínio é x>0 (isso garante que x é positivo, o que simplifica manipulações com \ln x).
  • Precisa-se do fator integrante, da solução geral e da verificação da solução.

Passo 2

Identificar a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem e a fórmula do fator integrante (aqui vou explicar em detalhes como funciona).
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x).
Nesse caso, comparando com a equação dada, temos
P(x)=-\frac{1}{x},\qquad Q(x)=x^{2}.
O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Explicando muito devagar: \mu(x) é uma função que, ao multiplicar a equação original, transforma o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)y(x). Isso acontece por causa da regra do produto da derivação:
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y,
e queremos que \mu'=\mu P, o que é equivalente a \dfrac{\mu'}{\mu}=P, daí \ln\mu=\int P e \mu=\exp(\int P).

Passo 3

Calcular explicitamente o fator integrante usando P(x)=-\dfrac{1}{x}.
Calcule a integral de P(x):
\int P(x)\,dx=\int\left(-\frac{1}{x}\right)dx=-\int\frac{1}{x}\,dx=-\ln x.
Como x>0, a função logaritmo natural está bem definida e não há problemas de sinal. Portanto
\mu(x)=\exp\!\left(-\ln x\right).
Usando a propriedade de exponencial e logaritmo \exp(\ln a)=a e \exp(-\ln x)=\big(\exp(\ln x)\big)^{-1}=x^{-1}, obtemos
\mu(x)=x^{-1}.
Assim o fator integrante é \mu(x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=\dfrac{1}{x} e reconhecer a derivada do produto.
Multiplicando ambos os lados por x^{-1}:
x^{-1}\frac{dy}{dx}-x^{-1}\cdot\frac{1}{x}y = x^{-1}\cdot x^{2}.
Simplificando os termos:
\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^{2}}y = x.
Agora observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{y}{x}\right). Para ver isso com a regra do produto (ou quociente):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x}\frac{dy}{dx} + y\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}\frac{dy}{dx} + y\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^{2}}y.
Portanto podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=x.

Passo 5

Integrar ambos os lados para encontrar \dfrac{y}{x} e, a seguir, y.
Integrando em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)\,dx = \int x\,dx.
A integral do lado esquerdo elimina a derivada:
\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (constante arbitrária). Agora isolar y multiplicando por x:
y = x\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right)=\frac{x^{3}}{2}+C x.
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 6

Verificação: substituir a solução encontrada na equação original e mostrar que ela satisfaz a igualdade.
A solução geral obtida é
y(x)=\frac{x^{3}}{2}+C x.
Calcule a derivada y':
\frac{dy}{dx}= \frac{3x^{2}}{2}+C.
Agora compute o lado esquerdo da equação original \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{1}{x}y:
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y = \left(\frac{3x^{2}}{2}+C\right)-\frac{1}{x}\left(\frac{x^{3}}{2}+C x\right).
Simplifique o segundo termo:
\frac{1}{x}\left(\frac{x^{3}}{2}+C x\right)=\frac{x^{2}}{2}+C.
Substituindo:
\left(\frac{3x^{2}}{2}+C\right)-\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2}+C-C=x^{2}.
Portanto, ao substituir a solução obtida, o lado esquerdo fica exatamente x^{2}, que é o lado direito da equação original. Logo a solução está verificada.

Resposta

(a) \mu(x)=x^{-1}
(b) y(x)=\dfrac{x^{3}}{2}+C x
(c) Substituindo obtém \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{1}{x}y=x^{2}, portanto a solução está verificada.

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