Considere a equação diferencial linear: (1,5 ponto)
(a) Determine o fator integrante.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Verifique a solução obtida substituindo na equação original.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Verifique a solução obtida substituindo na equação original.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de primeira ordem
As perguntas são:
(a) Determinar o fator integrante.
(b) Resolver a equação diferencial (achar a solução geral).
(c) Verificar a solução obtida substituindo-a na equação original.
(a) Determinar o fator integrante.
(b) Resolver a equação diferencial (achar a solução geral).
(c) Verificar a solução obtida substituindo-a na equação original.
Informações relevantes dadas:
- A equação está escrita como
. - O domínio é
(isso garante que é positivo, o que simplifica manipulações com ). - Precisa-se do fator integrante, da solução geral e da verificação da solução.
Passo 2
Identificar a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem e a fórmula do fator integrante (aqui vou explicar em detalhes como funciona).
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
Nesse caso, comparando com a equação dada, temos
O fator integrante
é definido por
Explicando muito devagar:
é uma função que, ao multiplicar a equação original, transforma o lado esquerdo na derivada do produto
. Isso acontece por causa da regra do produto da derivação:
e queremos que
, o que é equivalente a
, daí
e
.
Passo 3
Calcular explicitamente o fator integrante usando
.
Calcule a integral de :
Calcule a integral de
Como
, a função logaritmo natural está bem definida e não há problemas de sinal. Portanto
Usando a propriedade de exponencial e logaritmo
e
, obtemos
Assim o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
e reconhecer a derivada do produto.
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por
Simplificando os termos:
Agora observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Para ver isso com a regra do produto (ou quociente):
Portanto podemos reescrever a equação como
Passo 5
Integrar ambos os lados para encontrar
e, a seguir,
.
Integrando em relação a :
Integrando em relação a
A integral do lado esquerdo elimina a derivada:
onde
é a constante de integração (constante arbitrária). Agora isolar
multiplicando por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Verificação: substituir a solução encontrada na equação original e mostrar que ela satisfaz a igualdade.
A solução geral obtida é
A solução geral obtida é
Calcule a derivada
:
Agora compute o lado esquerdo da equação original
:
Simplifique o segundo termo:
Substituindo:
Portanto, ao substituir a solução obtida, o lado esquerdo fica exatamente
, que é o lado direito da equação original. Logo a solução está verificada.
Resposta
(a)
(b)
(c) Substituindo obtém
, portanto a solução está verificada.