Resolva a equação diferencial: (1,5 ponto)
(a) Reescreva a equação na forma linear padrão.
(b) Determine o fator integrante.
(c) Resolva a equação diferencial.
(b) Determine o fator integrante.
(c) Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e a condição do domínio:
O que é pedido:
(a) Reescrever a equação na forma linear padrão.
(b) Determinar o fator integrante.
(c) Resolver a equação diferencial (encontrar a solução geral).
(a) Reescrever a equação na forma linear padrão.
(b) Determinar o fator integrante.
(c) Resolver a equação diferencial (encontrar a solução geral).
Informações relevantes dadas:
- A equação é de primeira ordem.
- O domínio é
(isso vai permitir manipular e usar como fator integrante sem ambiguidade de sinal). - Não há condições iniciais; portanto buscamos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Reescrever na forma linear padrão.
Primeiro, colocar a equação com o coeficiente de igual a
. Como
, podemos dividir ambos os lados por
sem problemas:
Primeiro, colocar a equação com o coeficiente de
Aqui a equação já está na forma padrão de uma linear de 1ª ordem:
onde, no nosso caso,
Passo 3
Explicar e determinar o fator integrante.
Ideia do fator integrante: para uma equação da forma , existe uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Ideia do fator integrante: para uma equação da forma
A condição necessária é que
, o que leva à fórmula
No nosso caso
. Calcular:
Como
,
. Portanto o fator integrante é
Passo 4
Multiplicar a equação padrão pelo fator integrante e reconhecer a forma exata.
Multiplicando por
obtemos
Multiplicando
Observação: a expressão da esquerda é exatamente a derivada do produto
. Para ver isso, derivamos:
Logo a equação fica
Passo 5
Integrar e achar a solução geral.
Integramos ambos os lados em relação a :
Integramos ambos os lados em relação a
O lado esquerdo integra para
. O lado direito é uma potência simples:
onde
é a constante de integração (número real arbitrário). Agora isolamos
:
Essa é a solução geral da equação diferencial para
.
Passo 6
Verificação rápida (cheiro de certeza): substituir a solução na equação original.
Tomando , calculamos
Tomando
Agora calcule
:
A igualdade confere com o lado direito original, logo a solução está correta.
Resposta
(a)
(b)
(c) com
constante real.
(b)
(c)