Resolva a equação diferencial: (1,5 ponto)
x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{3}, \quad x>0 .
(a) Reescreva a equação na forma linear padrão.
(b) Determine o fator integrante.
(c) Resolva a equação diferencial.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e a condição do domínio:
x\frac{dy}{dx}+2y=x^{3},\qquad x>0.
O que é pedido:
(a) Reescrever a equação na forma linear padrão.
(b) Determinar o fator integrante.
(c) Resolver a equação diferencial (encontrar a solução geral).
Informações relevantes dadas:
  • A equação é de primeira ordem.
  • O domínio é x>0 (isso vai permitir manipular \ln x e usar x^2 como fator integrante sem ambiguidade de sinal).
  • Não há condições iniciais; portanto buscamos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Reescrever na forma linear padrão.
Primeiro, colocar a equação com o coeficiente de \dfrac{dy}{dx} igual a 1. Como x>0, podemos dividir ambos os lados por x sem problemas:
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y=x^{2}.
Aqui a equação já está na forma padrão de uma linear de 1ª ordem:
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde, no nosso caso,
P(x)=\frac{2}{x},\qquad Q(x)=x^{2}.

Passo 3

Explicar e determinar o fator integrante.
Ideia do fator integrante: para uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), existe uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y:
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
A condição necessária é que \mu'(x)=\mu(x)P(x), o que leva à fórmula
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
No nosso caso P(x)=\dfrac{2}{x}. Calcular:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{2}{x}\,dx\Big)=\exp\big(2\ln x\big).
Como x>0, \exp(2\ln x)=(\exp(\ln x))^{2}=x^{2}. Portanto o fator integrante é
\mu(x)=x^{2}.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão pelo fator integrante e reconhecer a forma exata.
Multiplicando \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2}{x}y=x^{2} por \mu(x)=x^{2} obtemos
x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y=x^{4}.
Observação: a expressão da esquerda é exatamente a derivada do produto x^{2}y. Para ver isso, derivamos:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y.
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{4}.

Passo 5

Integrar e achar a solução geral.
Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)\,dx=\int x^{4}\,dx.
O lado esquerdo integra para x^{2}y. O lado direito é uma potência simples:
x^{2}y=\frac{x^{5}}{5}+C,
onde C é a constante de integração (número real arbitrário). Agora isolamos y:
y=\frac{x^{5}}{5x^{2}}+\frac{C}{x^{2}}=\frac{1}{5}x^{3}+C x^{-2}.
Essa é a solução geral da equação diferencial para x>0.

Passo 6

Verificação rápida (cheiro de certeza): substituir a solução na equação original.
Tomando y=\dfrac{1}{5}x^{3}+C x^{-2}, calculamos
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{5}x^{2}-2C x^{-3}.
Agora calcule x\frac{dy}{dx}+2y:
x\left(\frac{3}{5}x^{2}-2C x^{-3}\right)+2\left(\frac{1}{5}x^{3}+C x^{-2}\right) =\frac{3}{5}x^{3}-2C x^{-2}+\frac{2}{5}x^{3}+2C x^{-2} =\left(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\right)x^{3}=x^{3}.
A igualdade confere com o lado direito original, logo a solução está correta.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y=x^{2}.
(b) \displaystyle \mu(x)=x^{2}.
(c) \displaystyle y=\frac{1}{5}x^{3}+C x^{-2}, com C constante real.

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