Considere a equação diferencial ( 1,5 ponto)
(a) Identifique
e
.
(b) Verifique se a equação é exata.
(c) Caso seja exata, determine a solução implícita.
(b) Verifique se a equação é exata.
(c) Caso seja exata, determine a solução implícita.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial total
As perguntas que precisamos responder são:
- (a) Identificar
e . - (b) Verificar se a equação é exata.
- (c) Caso seja exata, determinar a solução implícita.
Passo 2
O que significa identificar
e
: numa equação diferencial escrita como
(Resposta da parte (a).)
Passo 3
Regra para verificar exatidão (aulas rápidas): uma forma diferencial
é exata num domínio se existe uma função potencial
tal que
Um critério prático é calcular as derivadas parciais cruzadas:
se as funções e
têm derivadas parciais contínuas e
se as funções
em um domínio simplesmente conexo, então a equação é exata.
Calcule as derivadas:
Como
para todos
, a equação é exata (resposta da parte (b)). Observação amistosa: aqui tudo são polinômios, então não há problema de continuidade do domínio.
Passo 4
Método para resolver uma equação exata (aula passo a passo): procurar
tal que
Integro
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função que depende só de
(constante de integração “em relação a
”).
Passo 5
Determinar
usando a condição
. Calculo a derivada de
em relação a
:
Igualando a
, obtemos
Agora integro
em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos incorporar essa constante final numa constante geral da solução implícita.
Logo a função potencial é
Passo 6
A solução implícita da equação diferencial é dada por
constante. Eliminando
e escrevendo a constante geral
, obtemos a solução final:
Como checagem rápida:
e
, ou seja, bate certinho.
Resposta
(a)
(b) A equação é exata, pois
.
(c) Solução implícita: