Considere a equação diferencial ( 1,5 ponto)
(2 x y+3) d x+\left(x^{2}-4 y\right) d y=0
(a) Identifique M(x, y) e N(x, y).
(b) Verifique se a equação é exata.
(c) Caso seja exata, determine a solução implícita.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial total
(2 x y+3)\,d x+\left(x^{2}-4 y\right)\,d y=0.
As perguntas que precisamos responder são:
  • (a) Identificar M(x,y) e N(x,y).
  • (b) Verificar se a equação é exata.
  • (c) Caso seja exata, determinar a solução implícita.

Passo 2

O que significa identificar M e N: numa equação diferencial escrita como
M(x,y)\,d x+N(x,y)\,d y=0,
M(x,y) é a função que multiplica d x e N(x,y) é a função que multiplica d y. Aplicando isso ao enunciado, temos:
M(x,y)=2 x y+3, \qquad N(x,y)=x^{2}-4 y.
(Resposta da parte (a).)

Passo 3

Regra para verificar exatidão (aulas rápidas): uma forma diferencial M\,d x+N\,d y é exata num domínio se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Um critério prático é calcular as derivadas parciais cruzadas:
se as funções M e N têm derivadas parciais contínuas e
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
em um domínio simplesmente conexo, então a equação é exata.
Calcule as derivadas:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2 x y+3)=2 x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-4 y)=2 x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2x para todos (x,y), a equação é exata (resposta da parte (b)). Observação amistosa: aqui tudo são polinômios, então não há problema de continuidade do domínio.

Passo 4

Método para resolver uma equação exata (aula passo a passo): procurar \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=2 x y+3.
Integro M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int (2 x y+3)\,d x = x^{2}y+3x+h(y),
onde h(y) é uma função que depende só de y (constante de integração “em relação a x”).

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y). Calculo a derivada de \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{2}+h'(y).
Igualando a N(x,y)=x^{2}-4y, obtemos
x^{2}+h'(y)=x^{2}-4y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=-4y.
Agora integro h'(y) em relação a y:
h(y)=\int -4y\,d y = -2y^{2}+C_{0},
onde C_{0} é uma constante. Podemos incorporar essa constante final numa constante geral da solução implícita.
Logo a função potencial é
\Phi(x,y)=x^{2}y+3x-2y^{2}+C_{0}.

Passo 6

A solução implícita da equação diferencial é dada por \Phi(x,y)= constante. Eliminando C_{0} e escrevendo a constante geral \text{(C)}, obtemos a solução final:
x^{2}y+3x-2y^{2}=C.
Como checagem rápida: \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=2xy+3=M e \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{2}-4y=N, ou seja, bate certinho.

Resposta

(a) M(x,y)=2 x y+3,\qquad N(x,y)=x^{2}-4 y
(b) A equação é exata, pois \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2x.
(c) Solução implícita: x^{2}y+3x-2y^{2}=C

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