Considere a equação diferencial linear de primeira ordem, na forma d yd x+P(x) y=f(x).
(b) Multiplique a equação dada pelo fator integrante obtido, mu(x), e obtenha o lado esquerdo da igualdade, como a derivada do produto de mu(x), e da variável dependente y.

Passo 1

A questão pede para multiplicar a EDO linear de primeira ordem
dydx + P(x)y = f(x)
pelo fator integrante mu(x) já encontrado, de modo a reconhecer o lado esquerdo como derivada do produto mu(x)y.

Passo 2

O fator integrante de uma EDO y'+P(x)y=f(x) é
mu(x) = e^integral P(x),dx\
Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos:
mu(x)dydx + mu(x)P(x)y = mu(x)f(x)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto à derivada de mu(x)y:
ddx[mu(x)y] = mu(x)dydx + dmudx,y
Mas como
dmudx = mu(x)P(x),
ficamos com
ddx[mu(x)y] = mu(x)dydx + mu(x)P(x)y
que é exatamente o lado esquerdo da equação multiplicada pelo fator integrante.

Resposta

O lado esquerdo se reescreve como
ddx[mu(x)y]

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