Determine o fator integrante que tornará, em cada item, uma edo exata. Em seguida, verifique as condições para que esta nova edo seja uma edo exata (fique à vontade em resolver a edo daí em diante):
(2 y^2+3 x) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar um fator integrante que torne exata a equação
(2y²+3x)
dx + 2xy
dy = 0. O conteúdo é EDO exata e fator integrante, e vamos precisar usar o teste de exatidão (∂M/∂y = ∂N/∂x) e a fórmula para fator integrante que depende só de x ou só de y.

Passo 2

Identificamos M(x,y) e N(x,y):
M(x,y) = 2y^2 + 3x,
N(x,y) = 2xy
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4y,
partial Npartial x = 2y
Como 4y ≠ 2y, a equação não é exata.

Passo 3

Para testar um fator integrante μ(x) que dependa só de x, usamos a condição:
1Nl(partial Mpartial y - partial Npartial xr)
Se isso for função só de x, então
12xy(4y - 2y) = 2y2xy = 1x
Depende apenas de x, logo
μ(x) = e^integral 1x ,dx = x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por μ(x)=x. Isso dá novos
M^* e N^*:
M^* = x(2y^2 + 3x) = 2xy^2 + 3x^2,
N^* = x(2xy) = 2x^2y
Verificamos exatidão:
partial M^*partial y = 4xy,
partial N^*partial x = 4xy,
Portanto a equação agora é exata.

Passo 5

Para resolver a equação exata, buscamos ψ(x,y) tal que
partial ψpartial x = M^* = 2xy^2 + 3x^2
Integramos em x:
ψ(x,y) = integral (2xy^2 + 3x^2) ,dx = x^2y^2 + x^3 + h(y)
Depois, exigimos
partial ψpartial y = 2x^2y + h'(y) = N^* = 2x^2y
Então h’(y)=0 e h(y)=constante. A solução implícita é
ψ(x,y) = x^2y^2 + x^3 = C

Resposta

A equação exata obtida com o fator integrante x tem solução implícita
x²y² + x³ = C.

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