Determine o fator integrante que tornará, em cada item, uma edo exata. Em seguida, verifique as condições para que esta nova edo seja uma edo exata (fique à vontade em resolver a edo daí em diante):
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar um fator integrante que torne exata a equação
(2y²+3x)
dx + 2xy
dy = 0. O conteúdo é EDO exata e fator integrante, e vamos precisar usar o teste de exatidão (∂M/∂y = ∂N/∂x) e a fórmula para fator integrante que depende só de x ou só de y.
(2y²+3x)
dx + 2xy
dy = 0. O conteúdo é EDO exata e fator integrante, e vamos precisar usar o teste de exatidão (∂M/∂y = ∂N/∂x) e a fórmula para fator integrante que depende só de x ou só de y.
Passo 2
Identificamos M(x,y) e N(x,y):
Calculamos as derivadas parciais:
Como 4y ≠ 2y, a equação não é exata.
Passo 3
Para testar um fator integrante μ(x) que dependa só de x, usamos a condição:
Se isso for função só de x, então
Depende apenas de x, logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por μ(x)=x. Isso dá novos
M^* e N^*:
M^* e N^*:
Verificamos exatidão:
Portanto a equação agora é exata.
Passo 5
Para resolver a equação exata, buscamos ψ(x,y) tal que
Integramos em x:
Depois, exigimos
Então h’(y)=0 e h(y)=constante. A solução implícita é
Resposta
A equação exata obtida com o fator integrante x tem solução implícita
x²y² + x³ = C.
x²y² + x³ = C.