Considere a equação diferencial ordinária (EDO) e cujas condições iniciais são: f(0)=0 e dotf(0)=0
ddotf+3 f=2 u1(t)
Encontre o valor de f(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do segundo grau com algumas condições iniciais. O enunciado é:
ddotf + 3 f = 2 u1(t)
Onde ddotf é a segunda derivada de f em relação ao tempo t, e u1(t) é a função degrau unitário (que é igual a 0 para t < 0 e 1 para t >= 0). As condições iniciais são f(0) = 0 e dotf(0) = 0. Vamos resolver isso passo a passo usando conhecimentos de equações diferenciais ordinárias.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo do lado direito:
ddotf + 3 f = 0
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é baseada nas raízes da equação característica.

Passo 3

Para encontrar as raízes, montamos a equação característica:
r^2 + 3 = 0
Resolvendo para r:
r^2 = -3 r = pm raiz-3 = pm iraiz3
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
fh(t) = C1 cos(raiz3, t) + C2 sin(raiz3, t)
Aqui, C1 e C2 são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
ddotf + 3 f = 2 u(t)
Como o termo do lado direito é uma função constante multiplicada pelo degrau unitário, tentamos uma solução particular constante:
fp(t) = A
Derivando e substituindo na equação:
0 + 3 A = 2 Rightarrow A = 23
Então, a solução particular é fp(t) = 23.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
f(t) = fh(t) + fp(t) = C1 cos(raiz3, t) + C2 sin(raiz3, t) + 23
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.

Passo 6

Primeira condição inicial: f(0) = 0.
Substituindo t = 0 na solução geral:
0 = C1 cos(0) + C2 sin(0) + 23 0 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 + 23 C1 = -23
Segunda condição inicial: dotf(0) = 0.
Primeiro, encontramos a derivada de f(t):
dotf(t) = -C1 raiz3 sin(raiz3, t) + C2 raiz3 cos(raiz3, t)
Substituindo t = 0:
0 = -C1 raiz3 cdot 0 + C2 raiz3 cdot 1 0 = C2 raiz3 C2 = 0

Resposta

Substituindo C1 e C2 na solução geral:
f(t) = -23 cos(raiz3, t) + 23
Ou simplificando:
f(t) = 23[1 - cos(raiz3, t)]

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