Considere a equação diferencial ordinária (EDO) e cujas condições iniciais são:
e
Encontre o valor de f(t)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do segundo grau com algumas condições iniciais. O enunciado é:
Onde
é a segunda derivada de
em relação ao tempo
, e
é a função degrau unitário (que é igual a 0 para
e 1 para
). As condições iniciais são
e
. Vamos resolver isso passo a passo usando conhecimentos de equações diferenciais ordinárias.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo do lado direito:
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é baseada nas raízes da equação característica.
Passo 3
Para encontrar as raízes, montamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito é uma função constante multiplicada pelo degrau unitário, tentamos uma solução particular constante:
Derivando e substituindo na equação:
Então, a solução particular é
.
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 6
Primeira condição inicial:
.
Substituindo
na solução geral:
Segunda condição inicial:
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Substituindo
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral:
Ou simplificando: