Given: a system with the transfer function Y(s) / X(s)=(T1 s+1) /(T2 s+1). Find Y(t) if X(t) is a unit-step function. If T1 / T2=5, sketch Y(t) versus t / T2. Show the numerical values of minimum, maximum, and ultimate values that may occur during the transient. Check these by using the initial-value and final-value theorems of App. 3A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com a função de transferência e uma entrada que é uma função degrau unitário. O que a gente precisa fazer é encontrar a saída , desenhar o gráfico de em função de quando , e determinar os valores mínimo, máximo e final que aparecem durante a transiente, verificando esses valores usando os teoremas de valor inicial e valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função degrau unitário. É uma função que é zero para X(t) = 0 & se t < 0 1 & se t >= 0 e igual a 1 para . Então, nossa entrada é:

Passo 3

Agora, para encontrar Y(s) = T1 s + 1T2 s + 1 cdot 1s , vamos usar a transformada de Laplace. A transformada de Laplace da entrada é . Então, a transformada de Laplace da saída é:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão de Y(s) = T1 s + 1s(T2 s + 1) :
Y(s) = T1 s + 1s(T2 s + 1) = As + BT2 s + 1
Podemos decompor essa fração para facilitar a inversão:

Passo 5

Para encontrar os coeficientes T1 s + 1 = A(T2 s + 1) + B s e T1 = A T2 + B , multiplicamos ambos os lados por 1 = A :
T1 = T2 + B implies B = T1 - T2
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para o termo constante:
Então, . Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Então, a expressão de Y(s) = 1s + T1 - T2T2 s + 1 fica:
L^-11s = 1(t)
Agora, vamos inverter a transformada de Laplace para encontrar L^-11T2 s + 1 = e^-t/T2 . Sabemos que:

Passo 7

Aplicando a inversa, temos:
Y(t) = 1(t) + (T1 - T2) e^-t/T2
Isso significa que a saída é a soma do degrau unitário e de um termo exponencial decrescente.

Passo 8

Agora, substituindo Y(t) = 1 + (5 T2 - T2) e^-t/T2 = 1 + 4 T2 e^-t/T2 , temos . Vamos substituir na expressão de :

Passo 9

Para simplificar, podemos expressar Y(tau) = 1 + 4 e^-tau em termos de , ou seja, :

Passo 10

Agora, vamos identificar os valores mínimo, máximo e final durante a transiente:
  • Valor inicial ( Y(0) = 1 + 4 e^0 = 1 + 4 = 5 ):
limt to infty Y(t) = 1 + 4 cdot 0 = 1
  • Valor final ( ):
  • Valor máximo: Observando a função , percebemos que o valor máximo é no inicio, que já calculamos como 5.
  • Valor mínimo: O valor mínimo é o valor final, que é 1.

Passo 11

Agora, vamos verificar esses valores usando os teoremas de valor inicial e valor final:
  • Teorema do Valor Inicial:
limt to 0^+ Y(t) = lims to infty s Y(s)
Calculando:
s Y(s) = s ( 1s + 4T2 s + 1 ) = 1 + 4 sT2 s + 1
lims to infty (1 + 4 sT2 s + 1) = 1 + 4T2 cdot lims to infty ss = 1 + 4 = 5
Confere com o valor inicial calculado.
  • Teorema do Valor Final:
limt to infty Y(t) = lims to 0 s Y(s)
Calculando:
s Y(s) = s ( 1s + 4T2 s + 1 ) = 1 + 4 sT2 s + 1
lims to 0 (1 + 4 sT2 s + 1) = 1 + 0 = 1
Confere com o valor final calculado.

Resposta

A saída do sistema é . No gráfico de versus , o valor inicial é 5, o valor máximo também é 5, e o valor final é 1. Esses valores foram confirmados pelos teoremas de valor inicial e valor final.

Exercícios relacionados