Given: a system with the transfer function
. Find
if
is a unit-step function. If
, sketch
versus
. Show the numerical values of minimum, maximum, and ultimate values that may occur during the transient. Check these by using the initial-value and final-value theorems of App. 3A.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com a função de transferência
e uma entrada
que é uma função degrau unitário. O que a gente precisa fazer é encontrar a saída
, desenhar o gráfico de
em função de
quando
, e determinar os valores mínimo, máximo e final que aparecem durante a transiente, verificando esses valores usando os teoremas de valor inicial e valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função degrau unitário. É uma função que é zero para
e igual a 1 para
. Então, nossa entrada
é:
Passo 3
Agora, para encontrar
, vamos usar a transformada de Laplace. A transformada de Laplace da entrada
é
. Então, a transformada de Laplace da saída
é:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão de
:
Podemos decompor essa fração para facilitar a inversão:
Passo 5
Para encontrar os coeficientes
e
, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para o termo constante:
Então,
. Substituindo na primeira equação:
Passo 6
Então, a expressão de
fica:
Agora, vamos inverter a transformada de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
Passo 7
Aplicando a inversa, temos:
Isso significa que a saída
é a soma do degrau unitário e de um termo exponencial decrescente.
Passo 8
Agora, substituindo
, temos
. Vamos substituir na expressão de
:
Passo 9
Para simplificar, podemos expressar
em termos de
, ou seja,
:
Passo 10
Agora, vamos identificar os valores mínimo, máximo e final durante a transiente:
- Valor inicial (
):
- Valor final (
):
-
Valor máximo: Observando a função
, percebemos que o valor máximo é no inicio, que já calculamos como 5. -
Valor mínimo: O valor mínimo é o valor final, que é 1.
Passo 11
Agora, vamos verificar esses valores usando os teoremas de valor inicial e valor final:
- Teorema do Valor Inicial:
Calculando:
Confere com o valor inicial calculado.
- Teorema do Valor Final:
Calculando:
Confere com o valor final calculado.
Resposta
A saída do sistema é
. No gráfico de
versus
, o valor inicial é 5, o valor máximo também é 5, e o valor final é 1. Esses valores foram confirmados pelos teoremas de valor inicial e valor final.