Considere os seguintes sinais
e
, rampa unitaria,
. Caso seja possível, aplique o teorema do valor inicial e final. Comente os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar dois sinais:
e
, onde
. A gente vai usar os Teoremas do Valor Inicial e Final para encontrar os valores desses sinais quando
se aproxima de 0 e de infinito. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre transformadas de Laplace e como aplicar esses teoremas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no sinal
. Esse é um sinal exponencial decrescente multiplicado pela função degrau unitário
, que basicamente “liga” o sinal a partir de
.
Passo 3
Para aplicar os teoremas, precisamos da Transformada de Laplace de
. A transformada de
é:
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema do Valor Inicial para encontrar
. O teorema diz que:
Substituindo
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos usar o Teorema do Valor Final para encontrar
:
Substituindo
:
Então,
.
Passo 6
Agora vamos analisar o sinal
. Parece que há uma pequena confusão no enunciado, mas supondo que
seja uma rampa unitária
, temos:
A Transformada de Laplace de
é:
Passo 7
Aplicando o Teorema do Valor Inicial para
:
Então,
.
Passo 8
Agora, vamos tentar aplicar o Teorema do Valor Final para
:
Aqui, o limite tende para infinito, o que indica que o Teorema do Valor Final não pode ser aplicado adequadamente para
, já que o resultado não é finito.
Resposta
Para
:
- Valor inicial:
- Valor final:
Para
(considerando como uma rampa unitária
):
- Valor inicial:
- Valor final: O Teorema do Valor Final não pode ser aplicado, já que
Os resultados mostram que os teoremas funcionam bem para
, pois ambos os limites são finitos e correspondem aos cálculos usando as transformadas de Laplace. Já para
, o valor final não é finito, o que impede a aplicação do Teorema do Valor Final.