Considere os seguintes sinais f(t)=e^-a t u(t), a>0 e g(t)=u2(t), rampa unitaria, a>0. Caso seja possível, aplique o teorema do valor inicial e final. Comente os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar dois sinais: e , onde . A gente vai usar os Teoremas do Valor Inicial e Final para encontrar os valores desses sinais quando se aproxima de 0 e de infinito. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre transformadas de Laplace e como aplicar esses teoremas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no sinal . Esse é um sinal exponencial decrescente multiplicado pela função degrau unitário , que basicamente “liga” o sinal a partir de .

Passo 3

Para aplicar os teoremas, precisamos da Transformada de Laplace de F(s) = 1s + a . A transformada de é:

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema do Valor Inicial para encontrar limt to 0 f(t) = lims to infty s F(s) . O teorema diz que:
lims to infty ss + a = 1
Substituindo :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos usar o Teorema do Valor Final para encontrar limt to infty f(t) = lims to 0 s F(s) :
lims to 0 ss + a = 0
Substituindo :
Então, .

Passo 6

Agora vamos analisar o sinal g(t) = t u(t) . Parece que há uma pequena confusão no enunciado, mas supondo que G(s) = 1s^2 seja uma rampa unitária , temos:
A Transformada de Laplace de é:

Passo 7

Aplicando o Teorema do Valor Inicial para limt to 0 g(t) = lims to infty s G(s) = lims to infty ss^2 = lims to infty 1s = 0 :
Então, .

Passo 8

Agora, vamos tentar aplicar o Teorema do Valor Final para limt to infty g(t) = lims to 0 s G(s) = lims to 0 ss^2 = lims to 0 1s :
Aqui, o limite tende para infinito, o que indica que o Teorema do Valor Final não pode ser aplicado adequadamente para , já que o resultado não é finito.

Resposta

Para :
  • Valor inicial:
  • Valor final:
Para (considerando como uma rampa unitária ):
  • Valor inicial:
  • Valor final: O Teorema do Valor Final não pode ser aplicado, já que
Os resultados mostram que os teoremas funcionam bem para , pois ambos os limites são finitos e correspondem aos cálculos usando as transformadas de Laplace. Já para , o valor final não é finito, o que impede a aplicação do Teorema do Valor Final.

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