Considere a equação diferencial ordinária (EDO) e cujas condições iniciais são:
e
Encontre o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de segunda ordem que vocês deram. A equação é:
Com as condições iniciais
e
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e uma função forçadora
, que provavelmente é a função degrau unitário. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações homogêneas e particulares, além das condições iniciais para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o lado direito:
Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica para essa EDO é:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Então:
As raízes são complexas conjugadas:
.
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é
(função degrau unitário), podemos assumir que a solução particular
é constante. Então, assumimos:
Derivando, temos
e
. Substituindo na equação original:
Como
para
, então
.
Passo 6
A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Agora, derivamos
para encontrar
:
Simplificando e aplicando
, encontramos
.
Resposta
Finalmente, a solução para
é: