Considere a equação diferencial ordinária (EDO) e cujas condições iniciais são: f(0)=0 e dotf(0)=0
ddotf+dotf+f=u1(t)
Encontre o valor de f(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de segunda ordem que vocês deram. A equação é:
ddotf + dotf + f = u1(t)
Com as condições iniciais f(0) = 0 e dotf(0) = 0. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e uma função forçadora u1(t), que provavelmente é a função degrau unitário. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações homogêneas e particulares, além das condições iniciais para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o lado direito:
ddotf + dotf + f = 0
Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica para essa EDO é:
r^2 + r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática r^2 + r + 1 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 1, e c = 1. Então:
r = -1 pm raiz1 - 42 = -1 pm raiz-32 = -1 pm iraiz32
As raízes são complexas conjugadas: r = -12 pm iraiz32.

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
fh(t) = e^-12t ( C1 cos(raiz32t) + C2 sin(raiz32t) )
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é u1(t) (função degrau unitário), podemos assumir que a solução particular fp(t) é constante. Então, assumimos:
fp(t) = K
Derivando, temos dotfp(t) = 0 e ddotfp(t) = 0. Substituindo na equação original:
0 + 0 + K = u1(t)
Como u1(t) = 1 para t >= 0, então K = 1.

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
f(t) = fh(t) + fp(t) = e^-12t ( C1 cos(raiz32t) + C2 sin(raiz32t) ) + 1

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Primeiro, para t = 0:
f(0) = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) + 1 = C1 + 1 = 0 Rightarrow C1 = -1
Agora, derivamos f(t) para encontrar dotf(t):
dotf(t) = e^-12t ( -12 ( -1 ) cos(raiz32t) - raiz32 (-1) sin(raiz32t) ) + dots
Simplificando e aplicando t = 0, encontramos C2 = raiz33.

Resposta

Finalmente, a solução para f(t) é:
f(t) = e^-12t ( -cos(raiz32t) + raiz33 sin(raiz32t) ) + 1

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