O sistema de equações diferenciais que descreve o número de gramas de sal diluido em água, em um instante arbitrário, nos tanques A e B , tem a forma
Determine as concentrações de sal,
e
, resolvendo o sistema de equações diferenciais lineares pelo método de Variação de Parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver pelo método de variação de parâmetros o sistema não homogêneo em
e
com parâmetro
. Vamos primeiro encontrar a solução geral do sistema homogêneo e depois montar a parte particular usando a matriz fundamental.
Passo 2
Escrevemos o sistema como
, onde
O polinômio característico de
é
, cujas raízes são
e
.
Passo 3
Os autovetores são
para
e
para
. Logo, a solução homogênea é
Passo 4
Construímos a matriz fundamental
A variação de parâmetros dá
com
com
Passo 5
Calculamos
e
Multiplicando por
, obtemos
Passo 6
Integrando (desprezando constantes na parte particular), fica
Passo 7
A solução particular é
que, após simplificar, dá
Passo 8
Somando homogêneo e particular, a solução geral é