O sistema de equações diferenciais que descreve o número de gramas de sal diluido em água, em um instante arbitrário, nos tanques A e B , tem a forma
d xd t=-A x+(A+2) y+e^A * t d yd t=(A+2) x-A y-A^2
Determine as concentrações de sal, x(t) e y(t), resolvendo o sistema de equações diferenciais lineares pelo método de Variação de Parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de variação de parâmetros o sistema não homogêneo em x(t) e y(t) com parâmetro A. Vamos primeiro encontrar a solução geral do sistema homogêneo e depois montar a parte particular usando a matriz fundamental.

Passo 2

Escrevemos o sistema como ddtxy=Mxy+f(t), onde
M=-A & A+2 A+2 & -A, f(t)=e^At -A^2
O polinômio característico de M é lambda^2+2Alambda-4(A+1)=0, cujas raízes são lambda1=2 e lambda2=-2(A+1).

Passo 3

Os autovetores são
v1=(1,1)^T para lambda1=2 e v2=(1,-1)^T para lambda2=-2(A+1). Logo, a solução homogênea é
xhyh=C1e^2t11+C2e^-2(A+1)t1-1

Passo 4

Construímos a matriz fundamental
Phi(t)=e^2t & e^-2(A+1)t e^2t & -e^-2(A+1)t
A variação de parâmetros dá
xy
com
u1(t)u2(t)

Passo 5

Calculamos detPhi(t)=-2e^-2At e
Phi(t)^-1=1-2e^-2At-e^-2(A+1)t & -e^-2(A+1)t -e^2t & e^2t
Multiplicando por f(t), obtemos
u1'(t)=-A^2-12e^(A-2)t, u2'(t)=12l(e^(3A+2)t+A^2e^(2A+2)tr)

Passo 6

Integrando (desprezando constantes na parte particular), fica
u1(t)=-A^2-12(A-2)e^(A-2)t, u2(t)=e^(3A+2)t2(3A+2)+A^2e^(2A+2)t4(A+1)

Passo 7

A solução particular é
xpyp=Phi(t)u1u2,
que, após simplificar, dá
xp&=-A(3A-2)(A+2)2(A-2)(3A+2)e^At+A^24(A+1), yp&=-(A+2)(3A^2-2)2(A-2)(3A+2)e^At-A^24(A+1)

Passo 8

Somando homogêneo e particular, a solução geral é
x(t)y(t)

Resposta

x(t)&=C1e^2t+C2e^-2(A+1)t-A(3A-2)(A+2)2(A-2)(3A+2)e^At+A^24(A+1), y(t)&=C1e^2t-C2e^-2(A+1)t-(A+2)(3A^2-2)2(A-2)(3A+2)e^At-A^24(A+1)

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