No estudo da aceleração no plano inclinado foi analisado o modelo teórico
, em que
é a aceleração de um corpo,
é a aceleração da gravidade no local e
é o ângulo de inclinação do plano. O modelo pode ser reescrito como
, em que
é a posição do corpo no trilho no tempo
. Resolva a equação diferencial com as condições iniciais
e interprete a solução particular obtida. No dia da prova você usará essa solução para responder outras questões.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente está estudando aceleração em um plano inclinado e recebeu uma equação diferencial que descreve o movimento de um corpo nesse plano. A equação é:
Aqui, $ a = \frac{d{2}x}{dt{2}} $ é a aceleração do corpo, $ g $ é a aceleração da gravidade, e $ \theta $ é o ângulo de inclinação do plano. Para resolver essa equação, vamos precisar saber como integrar equações diferenciais de segunda ordem e usar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. A equação dada é:
Isso significa que a aceleração do corpo é constante e igual a $ g \sin(\theta) $. Para encontrar a velocidade $ \frac{dx}{dt} $, vamos integrar a equação em relação ao tempo $ t $:
Aqui, $ C_1 $ é a constante de integração que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar $ C_1 $. A condição inicial para a velocidade é:
Substituindo na expressão que encontramos:
Resolvendo para $ C_1 $:
Passo 4
Com $ C_1 $ determinado, vamos agora encontrar a posição $ x(t) $ integrando a velocidade:
Aqui, $ C_2 $ é outra constante de integração que vamos achar usando a segunda condição inicial.
Passo 5
Vamos aplicar a condição inicial para a posição:
Substituindo na expressão de $ x(t) $:
Já sabemos que $ C_1 = v_0 - g \sin(\theta) t_0 $, então substituindo:
Simplificando:
Resolvendo para $ C_2 $:
Passo 6
Agora, vamos montar a solução geral com as constantes determinadas:
Mas podemos simplificar isso reorganizando os termos:
Essa forma mostra claramente que a posição $ x(t) $ depende da posição inicial $ x_0 $, da velocidade inicial $ v_0 $, e da aceleração constante $ \frac{1}{2} g \sin(\theta) $.
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
Essa expressão descreve a posição do corpo no trilho em qualquer instante $ t $, considerando a posição e velocidade iniciais, além da aceleração causada pela gravidade no plano inclinado.