No estudo da aceleração no plano inclinado foi analisado o modelo teórico a=gsen(theta), em que a é a aceleração de um corpo, g é a aceleração da gravidade no local e theta é o ângulo de inclinação do plano. O modelo pode ser reescrito como d^2 xd t^2=g sen(theta), em que x é a posição do corpo no trilho no tempo t. Resolva a equação diferencial com as condições iniciais x(to)=xo e d xd t(to)=vo e interprete a solução particular obtida. No dia da prova você usará essa solução para responder outras questões.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente está estudando aceleração em um plano inclinado e recebeu uma equação diferencial que descreve o movimento de um corpo nesse plano. A equação é:
d^2xdt^2 = g sin(theta)
Aqui, $ a = \frac{d{2}x}{dt{2}} $ é a aceleração do corpo, $ g $ é a aceleração da gravidade, e $ \theta $ é o ângulo de inclinação do plano. Para resolver essa equação, vamos precisar saber como integrar equações diferenciais de segunda ordem e usar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. A equação dada é:
d^2xdt^2 = g sin(theta)
Isso significa que a aceleração do corpo é constante e igual a $ g \sin(\theta) $. Para encontrar a velocidade $ \frac{dx}{dt} $, vamos integrar a equação em relação ao tempo $ t $:
g sin(theta)
Aqui, $ C_1 $ é a constante de integração que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar $ C_1 $. A condição inicial para a velocidade é:
C1
Substituindo na expressão que encontramos:
dxdtg|t = t0 = v0
Resolvendo para $ C_1 $:
v0 = g sin(theta) t0 + C1

Passo 4

Com $ C_1 $ determinado, vamos agora encontrar a posição $ x(t) $ integrando a velocidade:
C1
Aqui, $ C_2 $ é outra constante de integração que vamos achar usando a segunda condição inicial.

Passo 5

Vamos aplicar a condição inicial para a posição:
x(t0) = x0
Substituindo na expressão de $ x(t) $:
x(t)
Já sabemos que $ C_1 = v_0 - g \sin(\theta) t_0 $, então substituindo:
x0 = g sin(theta)2 t0^2 + C1 t0 + C2
Simplificando:
C1 = v0 - g sin(theta) t0
x0 = g sin(theta)2 t0^2 + (v0 - g sin(theta) t0) t0 + C2
Resolvendo para $ C_2 $:
x0 = g sin(theta)2 t0^2 + v0 t0 - g sin(theta) t0^2 + C2

Passo 6

Agora, vamos montar a solução geral com as constantes determinadas:
x(t) = g sin(theta)2 t^2 + (v0 - g sin(theta) t0) t + ( x0 - v0 t0 + g sin(theta)2 t0^2 )
Mas podemos simplificar isso reorganizando os termos:
x(t) = x0 + v0 (t - t0) + 12 g sin(theta) (t - t0)^2
Essa forma mostra claramente que a posição $ x(t) $ depende da posição inicial $ x_0 $, da velocidade inicial $ v_0 $, e da aceleração constante $ \frac{1}{2} g \sin(\theta) $.

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:
x(t) = x0 + v0 (t - t0) + 12 g sin(theta) (t - t0)^2
Essa expressão descreve a posição do corpo no trilho em qualquer instante $ t $, considerando a posição e velocidade iniciais, além da aceleração causada pela gravidade no plano inclinado.

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