Considere a equação diferencial:
(x y)+\left(2 x^{2}+3 y^{2}-20\right) y^{\prime}=0
a) Mostre que a equação não é exata;
b) Calcule o fator integrador que a torna exata;
c) Resolva a equação exata e o seguinte PVI: y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0,
com
M(x,y)=x\,y, \quad N(x,y)=2x^{2}+3y^{2}-20,
e pede: (a) mostrar que não é exata; (b) achar um fator integrador; (c) resolver a equação exata obtida e o PVI y(0)=1.

Passo 2

Para testar exatidão, calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial(xy)}{\partial y} =x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial(2x^{2}+3y^{2}-20)}{\partial x} =4x.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrador \mu que dependa só de y. Usamos
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} =\frac{4x-x}{x\,y} =\frac{3}{y}
que depende apenas de y. Logo
\mu(y) =\exp\Bigl(\int\frac{3}{y}\,dy\Bigr) =\exp(3\ln|y|) =|y|^{3}.
Tomamos \mu(y)=y^{3} (supondo y>0).

Passo 4

Multiplicando a equação original por y^{3}, obtemos
M^*(x,y)=x\,y^{4}, \qquad N^*(x,y)=(2x^{2}+3y^{2}-20)\,y^{3}.
Verificamos então
\frac{\partial M^*}{\partial y} =4x\,y^{3}, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x} =4x\,y^{3},
logo a equação M^*+N^*y'=0 é exata.

Passo 5

Buscamos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} =M^*(x,y)=x\,y^{4}.
Integrando em x:
\Phi(x,y) =\int x\,y^{4}\,dx =\tfrac12\,x^{2}y^{4}+h(y).
Agora impomos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =2x^{2}y^{3}+h'(y) \stackrel{!}{=} N^*(x,y) =2x^{2}y^{3}+3y^{5}-20y^{3}.
Daí
h'(y)=3y^{5}-20y^{3},
h(y)=\int(3y^{5}-20y^{3})\,dy =\tfrac12\,y^{6}-5y^{4}+C.
Portanto
\Phi(x,y) =\tfrac12\,x^{2}y^{4}+\tfrac12\,y^{6}-5y^{4}.

Passo 6

A solução geral implícita é
\Phi(x,y)=C_1 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\,x^{2}y^{4}+\tfrac12\,y^{6}-5y^{4}=C_1.
Multiplicando tudo por 2 e definindo C=2C_1, obtemos
x^{2}y^{4}+y^{6}-10y^{4}=C.
Para o PVI y(0)=1, temos
0^{2}\cdot1^{4}+1^{6}-10\cdot1^{4}=C \;\Longrightarrow\; 1-10=C \;\Longrightarrow\; C=-9.
Logo a solução particular é
x^{2}y^{4}+y^{6}-10y^{4}+9=0.

Resposta

A solução geral implícita é
x^{2}y^{4}+y^{6}-10y^{4}=C,
e, impondo y(0)=1, obtemos
x^{2}y^{4}+y^{6}-10y^{4}+9=0.

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