Considere a equação diferencial:
a) Mostre que a equação não é exata;
b) Calcule o fator integrador que a torna exata;
c) Resolva a equação exata e o seguinte PVI:
.
b) Calcule o fator integrador que a torna exata;
c) Resolva a equação exata e o seguinte PVI:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
com
e pede: (a) mostrar que não é exata; (b) achar um fator integrador; (c) resolver a equação exata obtida e o PVI
.
Passo 2
Para testar exatidão, calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrador
que dependa só de
. Usamos
que depende apenas de
. Logo
Tomamos
(supondo
).
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Verificamos então
logo a equação
é exata.
Passo 5
Buscamos
tal que
Integrando em
:
Agora impomos
Daí
Portanto
Passo 6
A solução geral implícita é
Multiplicando tudo por 2 e definindo
, obtemos
Para o PVI
, temos
Logo a solução particular é
Resposta
A solução geral implícita é
e, impondo
, obtemos