Resolva as equações abaixo e o problema de valor inicial dado:
\frac{d y}{d t}+\frac{y}{2}=\frac{e^{\frac{t}{3}}}{2} ; \quad y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dt} + \frac{y}{2} = \frac{e^{\frac{t}{3}}}{2}
com a condição inicial y(0)=1. O método a usar é o do fator integrante para equações do tipo \dfrac{dy}{dt}+P(t)\,y=Q(t).

Passo 2

Identificamos P(t)=\tfrac12. O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int \tfrac12\,dt\Bigr) = e^{\frac{t}{2}}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t), temos
e^{\frac{t}{2}}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}}y = \frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}}\,e^{\frac{t}{3}} = \frac{1}{2}e^{\frac{5t}{6}}.
O lado esquerdo é a derivada
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{\frac{t}{2}}\bigr)
logo integramos ambos os lados:
y\,e^{\frac{t}{2}} = \int \frac{1}{2}e^{\frac{5t}{6}}\,dt + C = \frac{1}{2}\cdot\frac{6}{5}e^{\frac{5t}{6}} + C = \frac{3}{5}e^{\frac{5t}{6}} + C.

Passo 4

Isolando y, obtemos
y(t) = \frac{3}{5}e^{\frac{5t}{6}-\frac{t}{2}} + C\,e^{-\frac{t}{2}} = \frac{3}{5}e^{\frac{t}{3}} + C\,e^{-\frac{t}{2}}.

Passo 5

Usamos y(0)=1:
1 = \frac{3}{5}e^{0} + C\,e^{0} = \frac{3}{5} + C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{2}{5}.

Resposta

y(t) = \frac{3}{5}e^{\frac{t}{3}} + \frac{2}{5}e^{-\frac{t}{2}}.

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