Na tabela abaixo, classifique as equações de acordo com seu tipo, ordem e linearidade.
EQUAÇÃO TIPO ORDEM LINEARIDADE
t^{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+t \frac{d y}{d t}+2 y=\sin t
x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=0
\frac{d y}{d t}+t y^{2}=0
\left(1+y^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+t \frac{d y}{d t}+y=e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para identificar, em cada equação diferencial, o seu tipo (se é uma EDO – equação diferencial ordinária – ou uma EDP – equação diferencial parcial), a sua ordem (igual ao maior grau de derivada que aparece) e a sua linearidade (linear se y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, com coeficientes que não dependem de y; caso contrário é não linear).

Passo 2

Na equação
t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + t\frac{dy}{dt} + 2y = \sin t
– temos derivadas ordinárias de y em relação a t, portanto é uma EDO.
– A maior derivada é \frac{d^{2}y}{dt^{2}}, então é de segunda ordem.
– Todos os termos envolvendo y e suas derivadas aparecem de forma linear, com coeficientes que dependem somente de t, logo é linear.

Passo 3

Na equação
x\,\frac{\partial z}{\partial x} \;-\; y\,\frac{\partial z}{\partial y} \;=\;0
– aparecem derivadas parciais de z(x,y), logo é uma EDP.
– A maior derivada parcial é de primeira ordem, portanto é de primeira ordem.
z e suas derivadas aparecem de forma linear (os coeficientes são x e -y, que não dependem de z), então é linear.

Passo 4

Na equação
\frac{dy}{dt} + t\,y^{2} = 0
– há derivada ordinária de y em relação a t, então é uma EDO.
– Só aparece \frac{dy}{dt}, portanto é de primeira ordem.
– O termo y^{2} faz a equação ser não linear, pois y está elevado ao quadrado.

Passo 5

Na equação
\bigl(1+y^{2}\bigr)\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + t\,\frac{dy}{dt} + y = e^{t}
– usam-se derivadas ordinárias de y, logo é uma EDO.
– A maior derivada é \frac{d^{2}y}{dt^{2}}, então é de segunda ordem.
– O coeficiente \bigl(1+y^{2}\bigr) da segunda derivada depende de y, tornando a equação não linear.

Resposta

\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Equação} & \text{Tipo} & \text{Ordem} & \text{Linearidade} \\\ \hline t^{2}\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + t\displaystyle\frac{dy}{dt} + 2y = \sin t & \text{EDO} & 2 & \text{Linear} \\[4pt] x\,\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x} - y\,\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y} = 0 & \text{EDP} & 1 & \text{Linear} \\[4pt] \displaystyle\frac{dy}{dt} + t\,y^{2} = 0 & \text{EDO} & 1 & \text{Não linear} \\[4pt] \bigl(1+y^{2}\bigr)\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + t\,\displaystyle\frac{dy}{dt} + y = e^{t} & \text{EDO} & 2 & \text{Não linear} \\[2pt] \hline \end{array}]

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