- Considere a equação diferencial
a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma
, para um
um número real fixo.
b) Encontre uma solução da equação diferencial que seja uma função do
grau.
c) Encontre a solução geral da equação diferencial.
d) Encontre a solução do PVI
b) Encontre uma solução da equação diferencial que seja uma função do
c) Encontre a solução geral da equação diferencial.
d) Encontre a solução do PVI
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais em
.
a) pede uma solução da forma ;
b) pede uma solução polinomial de 1º grau;
c) pede a solução geral;
d) pede a solução do PVI ,
.
a) pede uma solução da forma
b) pede uma solução polinomial de 1º grau;
c) pede a solução geral;
d) pede a solução do PVI
Passo 2
Para
temos
Substituindo na EDO e dividindo por
obtém-se
Isso exige
As raízes de
são
ou
, mas nenhuma delas satisfaz a segunda equação.
Logo não existe solução não-trivial da forma .
Logo não existe solução não-trivial da forma
Passo 3
Propondo
temos
Na EDO surge
de onde
. Tomando
encontra-se
como uma solução de primeiro grau.
Passo 4
Para a solução geral usamos redução de ordem com
. Escrevendo a EDO em forma padrão
e aplicando a fórmula de redução de ordem, chega-se a
Portanto a solução geral é
Passo 5
Para o PVI é conveniente escolher a constante de integração tal que
zere em
. Então
Em
temos
,
, logo
Para
usa-se
Em
vem
e
logo
Isto dá
Assim a solução do PVI é
Resposta
a) Não existe solução não-trivial da forma
.
b) .
c) .
d) .
b)
c)
d)