Considere a equação
\frac{d y}{d t}+p(t) y=0 .
Mostre que se y_{1}(t) é uma solução da equação, então, pata qualquer constante c \in \mathbb{R}, y(t)=c y_{1}(t) também o é.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear homogênea de primeira ordem
\frac{dy}{dt}+p(t)\,y=0
e pede para mostrar que, se y_{1}(t) é uma solução, então para qualquer constante c\in\mathbb{R} a função
y(t)=c\,y_{1}(t)
também satisfaz a equação. Vamos verificar isso por substituição direta.

Passo 2

Defina y(t)=c\,y_{1}(t). Calculamos sua derivada usando a regra do fator constante:
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(c\,y_{1}(t)\bigr) = c\,\frac{dy_{1}}{dt}.

Passo 3

Substituímos \frac{dy}{dt} e y na equação original:
\frac{dy}{dt}+p(t)\,y = c\,\frac{dy_{1}}{dt} + p(t)\,\bigl(c\,y_{1}(t)\bigr) = c\Bigl(\frac{dy_{1}}{dt}+p(t)\,y_{1}(t)\Bigr).

Passo 4

Como y_{1}(t) é solução, temos
\frac{dy_{1}}{dt}+p(t)\,y_{1}(t)=0.
Logo
c\Bigl(\frac{dy_{1}}{dt}+p(t)\,y_{1}(t)\Bigr)=c\cdot 0=0,
o que mostra que \frac{dy}{dt}+p(t)\,y=0. Portanto y(t)=c\,y_{1}(t) também é solução.

Resposta

y(t)=c\,y_{1}(t) satisfaz \displaystyle \frac{dy}{dt}+p(t)\,y=0 para todo c\in\mathbb{R}.

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