1. Considere a equação diferencial
(x-3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0
a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma y_{1}(x)=e^{r x}, para um r um número real fixo.
b) Encontre uma solução da equação diferencial que seja uma função do 1^{0} grau.
c) Encontre a solução geral da equação diferencial.
d) Encontre a solução do PVI
\left\{\begin{array}{l} (x-3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0 \\\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x-3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais em x.
a) pede uma solução da forma y_{1}(x)=e^{r x};
b) pede uma solução polinomial de 1º grau;
c) pede a solução geral;
d) pede a solução do PVI y(1)=1, y'(1)=3.

Passo 2

Para y_{1}(x)=e^{r x} temos
y'_{1}=r\,e^{r x}, \quad y''_{1}=r^{2}e^{r x}.
Substituindo na EDO e dividindo por e^{r x}\neq0 obtém-se
(x-3)r^{2}+(x+2)r-1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (r^{2}+r)\,x+(-3r^{2}+2r-1)=0\quad\forall x.
Isso exige
r^{2}+r=0 \quad\text{e}\quad -3r^{2}+2r-1=0.
As raízes de r^{2}+r=0 são r=0 ou r=-1, mas nenhuma delas satisfaz a segunda equação.
Logo não existe solução não-trivial da forma e^{r x}.

Passo 3

Propondo y_{2}(x)=a x+b temos
y'_{2}=a, \quad y''_{2}=0.
Na EDO surge
(x-3)\cdot0+(x+2)\,a-(a x+b)=a x+2a-a x-b=2a-b=0
de onde b=2a. Tomando a=1 encontra-se
\boxed{y_{2}(x)=x+2}
como uma solução de primeiro grau.

Passo 4

Para a solução geral usamos redução de ordem com y_{2}(x)=x+2. Escrevendo a EDO em forma padrão
y''+\frac{x+2}{x-3}y'-\frac1{x-3}y=0
e aplicando a fórmula de redução de ordem, chega-se a
y_{1}(x)=(x+2)\int\frac{e^{-\displaystyle\int\frac{x+2}{x-3}dx}}{(x+2)^{2}}\,dx =(x+2)\int\frac{e^{-x}}{(x-3)^{5}(x+2)^{2}}\,dx.
Portanto a solução geral é
\boxed{ y(x)=C_{1}\,(x+2) +C_{2}\,(x+2)\int\frac{e^{-t}}{(t-3)^{5}(t+2)^{2}}\,dt }.

Passo 5

Para o PVI é conveniente escolher a constante de integração tal que
I(x)=\int_{1}^{x}\frac{e^{-t}}{(t-3)^{5}(t+2)^{2}}\,dt
zere em x=1. Então
y(x)=C_{1}(x+2)+C_{2}(x+2)\,I(x).
Em x=1 temos x+2=3, I(1)=0, logo
y(1)=3C_{1}=1 \;\Longrightarrow\; C_{1}=\tfrac13.
Para y'(x) usa-se
y'(x)=C_{1}+C_{2}\bigl[I(x)+(x+2)I'(x)\bigr].
Em x=1 vem I(1)=0 e
I'(1)=\frac{e^{-1}}{(1-3)^{5}(1+2)^{2}} =-\frac{e^{-1}}{288},
logo
y'(1)=C_{1}+C_{2}\,(3\,I'(1)) =\tfrac13+C_{2}\Bigl(3\cdot\bigl(-\tfrac{e^{-1}}{288}\bigr)\Bigr) =\tfrac13-\tfrac{e^{-1}}{96}\,C_{2}=3.
Isto dá
-\tfrac{e^{-1}}{96}C_{2}=3-\tfrac13=\tfrac{8}{3} \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=-256\,e.
Assim a solução do PVI é
\boxed{ y(x) =\tfrac13(x+2) -256\,e\,(x+2)\int_{1}^{x}\frac{e^{-t}}{(t-3)^{5}(t+2)^{2}}\,dt. }

Resposta

a) Não existe solução não-trivial da forma e^{r x}.
b) y_{2}(x)=x+2.
c) y(x)=C_{1}(x+2)+C_{2}(x+2)\displaystyle\int\frac{e^{-t}}{(t-3)^{5}(t+2)^{2}}\,dt.
d) y(x)=\tfrac13(x+2)-256\,e\,(x+2)\displaystyle\int_{1}^{x}\tfrac{e^{-t}}{(t-3)^{5}(t+2)^{2}}\,dt.

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